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Anhang 3

Anhang 3: Beweise für die Lehrsätze der Logik

Die Logik als deduktives System war bislang nur rudimentär vorhanden: Erstens fehlten wichtige Definitionen. Zweitens gab es viele Ungenauigkeiten bei den Lehrsätzen. Drittens war das System der Lehrsätze unvollständig. Viertens wurde die Notwendigkeit die Lehrsätze der Logik zu beweisen weitgehend ignoriert. Fünftens blieb die Frage nach den Axiomen der Logik unbeantwortet. – Das Dogma, die Beweisführung innerhalb der Logik sei wegen des Selbstbezugs unmöglich, war irreführend und führte zu einer mentalen Blockade. Dennoch gab es einige Versuche der Beweisführung in der formalen Logik (siehe Kapitel 8). Diese scheiterten aber kläglich, weil die Logiker so ungeübt waren in der Beweisführung. – Grundleged für die Beweisführung in der Logik ist das Konzept des logischen Gehalts. Auf diese Weise kann die Mengenlehre nutzbar gemacht werden, beispielsweise beim Beweis des Kriteriums für die Äquivalenz, beim Beweis für den Satz vom Kettenschluss und beim Beweis für den Satz über die Transitivität der Äquivalenz. Die drei genannten Lehrsätze sind sogar gültig für alle gehaltvollen Aussagen, also auch für gehaltvolle Aussagen ohne Wahrheitswert und für kontradiktorische Aussagen. Die nachstehenden 50 Beweise sind das Resultat meiner eigenen Analyse.

Jeder Lehrsatz der Logik hat den logischen Status eines universellen Gesetzes: Die Feststellungen der Äquivalenz respektive Implikation gelten für alle gewöhnlichen Aussagen A, B und C, unabhängig davon, welchen logischen Gehalt diese jeweils haben. Bei den Lehrsätzen der Logik gibt es drei Möglichkeiten der Sprachebene: metasprachliche Aussagen (die Sprachebene II), die Sprachebene III und die Sprachebene IV. – [A ist äquivalent mit B.] bedeutet, dass die Äquivalenz (A B) gegeben ist. [Aus A folgt B.] bedeutet, dass die Implikation (A B) gegeben ist. Die Eigenschaft der Äquivalenz behauptet wesentlich mehr wie die Eigenschaft der Implikation. Die Axiome und Lehrsätze mit den dazugehörigen Beweisen sind zwar für objektsprachliche Aussagen formuliert worden, aber eine Verallgemeinerung auf Aussagen der höheren Sprachebenen ist kein Problem.

Inwieweit die Lehrsätze der Logik jeweils anwendbar sind auf absurde Aussagen, tautologische Aussagen und kontradiktorische Aussagen, wurde hier nicht untersucht. Für die Anwendung der Logik sind diese Fälle nur selten relevant. Erstaunlich ist, dass es einen großen Bereich der Logik gibt, wo die Wahrheitswerte der betreffenden Aussagen keine Rolle spielen, nämlich bei den allgemeingültigen Feststellungen vom Typ I und Typ II (siehe unten). Oft unterschätzt wird die Rolle der Äquivalenz in der Logik.

Allgemeingültige Feststellungen
der Äquivalenzder Implikation
ohne WahrheitswerteTyp ITyp II
mit WahrheitswertenTyp IIITyp IV

 

1. Allgemeingültige Feststellungen der Äquivalenz, Typ I

 

1.1 Die Definition der Implikation:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit [der logische Gehalt von B der logische Gehalt von A].
Das Sonderzeichen besagt hier, dass entweder der logische Gehalt von B eine echteTeilmenge des logischen Gehalts von A ist oder beide logischen Gehalte gleich sind.  Sprachebene III

1.2 Die Definition der Äquivalenz:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit [der logische Gehalt von A  =  der logische Gehalt von B].
SE III

1.3 Das Kriterium für die Äquivalenz:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit [(A B) ist gegeben.  (B A) ist gegeben.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.1 und 1.2 und 2.3 und mithilfe der Mengenlehre:
(1) (A B) ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): der logische Gehalt von A  der logische Gehalt von B
(2) ist äquivalent mit (3): [(der logische Gehalt von B der logische Gehalt von A)
(der logische Gehalt von A der logische Gehalt von B)]
(3) ist äquivalent mit (4): [(A B) ist gegeben. (B A) ist gegeben.]
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

1.4 Der Satz von der doppelten Verneinung:
A ist äquivalent mit [¬ (¬A)].
SE II

Beweis mithilfe von 2.3 und 3.3 und 3.4 und 3.11
und der einschränkenden Voraussetzung, dass (¬A) eine gewöhnliche Aussage ist:

(1) {[A ist wahr.] [(¬A) ist unwahr.]} ist gegeben.
(2) {[(¬A) ist unwahr.] < [¬ (¬A)] ist wahr. >} ist gegeben.
Aus [(1) (2)] folgt (3): {[A ist wahr.] < [¬ (¬A)] ist wahr. >} ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): < {A [¬ (¬A)]} ist gegeben. > ist gültig.

1.5 Der Kontrapositionssatz:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit {[(¬B) (¬A)] ist gegeben.}.
Dieser Lehrsatz ist ein Axiom der Logik. SE III

1.6 {[(¬A) B] ist gegeben.} ist äquivalent mit {[(¬B) A] ist gegeben.}.
SE III

Beweis mithilfe von 1.4 und 1.5 und 2.3
und der einschränkenden Voraussetzung, dass (¬A) eine gewöhnliche Aussage ist:
(1) [(¬A) B] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {(¬B) [ ¬ (¬A)]} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {(¬B) A} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

1.7 {[A (¬B)] ist gegeben.} ist äquivalent mit {[B (¬A)] ist gegeben.}.
SE III

Beweis mithilfe von 1.4 und 1.5 und 2.3
und der einschränkenden Voraussetzung, dass (¬A) eine gewöhnliche Aussage ist:
(1) [A (¬B)] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[¬ (¬B)] (¬A)} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {B (¬A)} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

1.8 Die Sätze von De Morgan, Teil 1:
[¬ (A B)] ist äquivalent mit [(¬A) (¬B)].
SE II

Beweis mithilfe von 2.3 und 3.4 und 3.6 und 3.9 und 3.11:
(1) ¬ (A B) ist wahr.
(1) ist äquivalent mit (2): (A B) ist unwahr.
(2) ist äquivalent mit (3): A ist unwahr. B ist unwahr.
(3) ist äquivalent mit (4): (¬A) ist wahr. (¬B) ist wahr.
(4) ist äquivalent mit (5): [(¬A (¬B)] ist wahr.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt:
(6) {[¬ (A B)] ist wahr. [(¬A (¬B)] ist wahr.} ist gegeben.
(6) ist äquivalent mit (7): < {[¬ (A B)] [(¬A) (¬B)]} ist gegeben. > ist gültig.

1.9 Die Sätze von De Morgan, Teil 2:
[¬ (A B)] ist äquivalent mit [(¬A) (¬B)].
SE II

Beweis mithilfe von 2.3 und 3.4 und 3.7 und 3.8 und 3.11:
(1) ¬ (A B) ist wahr.
(1) ist äquivalent mit (2): (A B) ist unwahr.
(2) ist äquivalent mit (3): A ist unwahr. B ist unwahr.
(3) ist äquivalent mit (4): (¬A) ist wahr. (¬B) ist wahr.
(4) ist äquivalent mit (5): [(¬A)  (¬B)] ist wahr.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt:
(6) {[¬ (A B)] ist wahr. [(¬A)  (¬B)] ist wahr.} ist gegeben.
(6) ist äquivalent mit (7): < {[¬ (A B)] [(¬A) (¬B)]} ist gegeben. > ist gültig.

1.10 Der Satz über die Abhängigkeit, Teil 1: ( A IA ) ist äquivalent mit A.
Dabei ist I eine beliebige Implikation von A. SE II

Beweis mithilfe von 1.3 und 2.5 und 3.1 und 3.5 und 3.8:
(1) [(A I) A] ist gegeben.

(2) [A ist wahr. (A IA ) ist wahr.] ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {[A (A IA )] ist gegeben.} ist gültig.
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

1.11 Der Satz über die Abhängigkeit, Teil 2: (A IA ) ist äquivalent mit  IA.
Dabei ist IA eine beliebige Implikation von A.  SE II

Beweis mithilfe von 1.3 und 1.13 und 2.4 und 2.13:
(1) IA ist eine gemeinsame Implikation von IA  und von A.
Aus (1) folgt (2): [(A IA ) IA ] ist gegeben.

(3) [IA (A IA )] ist gegeben.
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

1.12 Das Kommutativgesetz der Konjunktion:
(A B) ist äquivalent mit (B A).
SE II

Beweis mithilfe von 3.8 und 3.11:
(1) [(A B) ist wahr. (B A) ist wahr.] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[(A B) (B A)] ist gegeben.} ist gültig.

1.13 Das Kommutativgesetz der Adjunktion:
(A B) ist äquivalent mit (B A).
SE II

Beweis mithilfe von 3.6 und 3.11:
(1) [(A B) ist wahr. (B A) ist wahr.] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[(A B) (B A)] ist gegeben.} ist gültig.

1.14 Das Assoziativgesetz der Konjunktion:
[(A B) C] ist äquivalent mit [A (B C)].
SE II

Beweis mithilfe von 3.8 und 3.11:
(1) {[(A B) C] ist wahr. [A (B C)] ist wahr.} ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): <{[(A B) C] [A (B C)]} ist gegeben.> ist gültig.

1.15 Das Assoziativgesetz der Adjunktion:
[(A B) C] ist äquivalent mit [A (B C)].
SE II

Beweis mithilfe von 3.6 und 3.11:
(1) {[(A B) C] ist wahr. [A (B C)] ist wahr.} ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): < {[(A B) C] [A (B C)]} ist gegeben. > ist gültig.

1.16 Die Reflexivität der Äquivalenz ist gültig kraft Definition:
(A A) ist gegeben.
SE II

1.17 Die Symmetrie-Eigenschaft der Äquivalenz ist zutreffend kraft Definition:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit [(B A) ist gegeben.].
SE III

1.18 Der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit {[(¬A) (¬B)] ist gegeben.}.
SE III

Beweis mithilfe von 1.3 und 1.5 und 1.21 und 2.2 und 2.11:
(1) (A B) ist gegeben.
Aus (1) folgt (2): (A B) ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): [(¬B) (¬A)] ist gegeben.

Aus (1) folgt (4): (B A) ist gegeben.
(4) ist äquivalent mit (5): [(¬A) (¬B)] ist gegeben.
Aus (1) folgt [(3) (5)].

[(3) (5)] ist äquivalent mit (6): [(¬A) (¬B)] ist gegeben.
Aus (1) folgt also (6).

Aus (6) folgt (7): [(¬A) (¬B)] ist gegeben.
(7) ist äquivalent mit (8): (B A) ist gegeben.

Aus (6) folgt (9): [(¬B) (¬A)] ist gegeben.
(9) ist äquivalent mit (10): (A B) ist gegeben.
Aus (6) folgt [(8) (10)].

[(8) (10)] ist äquivalent mit (1): (A B) ist gegeben.
Aus (6) folgt also (1).
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

1.19 Der Satz über den Zirkelschluss:
[(A B C A) ist ein Zirkelschluss.] ist äquivalent mit
{[(A B) ist gegeben. (B C) ist gegeben. (A C) ist gegeben.] ist gültig.}.
SE IV

Beweis mithilfe von 1.3 und 1.21 und 2.2 und 2.3 und 2.11:
(1) (A B C A) ist ein Zirkelschluss.
(1) ist äquivalent mit (2): [(A B) ist gegeben. (B A) ist gegeben.] ist gültig.
(2) ist äquivalent mit (3): [(A B) ist gegeben.] ist gültig.
Aus (1) folgt (4): [(B C) ist gegeben. (C B) ist gegeben.)] ist gültig.
(4) ist äquivalent mit (5): [(B C) ist gegeben.] ist gültig.
Aus [(3) (5)] folgt (6): [(A C) ist gegeben.] ist gültig.
[(3) (5) (6)] ist äquivalent mit (7):
[(A B) ist gegeben. (B C ) ist gegeben. ( A C) ist gegeben.] ist gültig.

Aus (7) folgt (8): [(A B) ist gegeben. (B C ) ist gegeben. ( C A) ist gegeben.] ist gültig.
(8) ist äquivalent mit (1): (A B C A) ist ein Zirkelschluss.
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

1.20 Das Kriterium für die abstrakte Negation:
{[B (¬A)] ist gegeben.} ist äquivalent mit {[(¬B) A] ist gegeben.}.
SE III

Beweis mithilfe von 1.4 und 1.18 und 2.3
und der einschränkenden Voraussetzung, dass (¬A) eine gewöhnliche Aussage ist:
(1) [B (¬A)] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {(¬B) ⇔ [¬ (¬A)]} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {(¬B) A} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

1.21 Der Satz über Konjunktionen im logischen Gehalt:
[(A B) ist gegeben. (A C) ist gegeben.] ist äquivalent mit {[A (B C)] ist gegeben.}.
SE III

Beweis mithilfe von 1.3 und 2.2 und 2.5 und 3.5 und 3.8:
(1) [(A B) ist gegeben. (A C) ist gegeben.] ist gültig.
(1) ist äquivalent mit (2): (A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben. (A ist wahr. C ist wahr.) ist gegeben.
Aus (2) folgt (3): [A ist wahr. (B ist wahr. C ist wahr.)] ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): [A ist wahr. (B C) ist wahr.] ist gegeben.
(4) ist äquivalent mit (5): {[A (B C)] ist gegeben.} ist gültig.

(5) [A (B C)] ist gegeben.
(6)[(B C) B] ist gegeben.
(7) [(B C) C] ist gegeben.
Aus [(5) (6) (7)] folgt (8): [(A B) ist gegeben. (A C) ist gegeben.]
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

1.22 Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik:

(1) [¬ (Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].
(2) [¬ (Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z hat.].
(3) [¬ (Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z hat.)]
ist äquivalent mit
[Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben nicht die Eigenschaft Z.].
(4) [¬ (Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)]
ist äquivalent mit
[Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben die Eigenschaft Z.].
SE II

Beweis mithilfe von 2.3:

(1) [¬ (Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben die Eigenschaft Z.)]
(1) ist äquivalent mit (1‘): Nicht alle x im betreffenden Geltungsbereich haben die Eigenschaft Z.
(1‘) ist äquivalent mit (1“): Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich,
welches die Eigenschaft Z nicht hat.

(2) [¬ (Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben nicht die Eigenschaft Z.)]
(2 ist äquivalent mit (2‘): Nicht alle x im betreffenden Geltungsbereich haben nicht die Eigenschaft Z.
(2‘) ist äquivalent mit (2“): Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich,
welches die Eigenschaft Z hat.

(3) [¬ (Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z hat.)]
(3) ist äquivalent mit (3‘): Es gibt kein x im betreffenden Geltungsbereich,
welches die Eigenschaft Z hat.
(3‘) ist äquivalent mit (3“): Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben nicht die Eigenschaft Z.

(4) [¬ (Es gibt ein x im betreffenden Geltungsbereich, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)]
(4) ist äquivalent mit (4‘): Es gibt kein x im betreffenden Geltungsbereich,
welches die Eigenschaft Z nicht hat.
(4‘) ist äquivalent mit (4“): Alle x im betreffenden Geltungsbereich haben die Eigenschaft Z.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

1.23 Definition und das Kriterium für den Widerspruch:
{
A widerspricht der Aussage B.} ist äquivalent mit {Es gibt eine gewöhnliche Aussage C so,
dass die Implikationen [A C] und [B  (¬C)] gegeben sind.}.
SE III

1.24 Definition und das Kriterium für die Unabhängigkeit:
[
A und B sind voneinander unabhängig.] ist äquivalent mit
[(A B) ist gegeben. (B A) ist gegeben.].

1.25 Distributivgesetze bezüglich der Konjunktion und der Adjunktion, Teil 1:
[A (B C)] ist äquivalent mit [(A B) (A C)]
SE II

Beweis mithilfe von 1.3 und 2.3 und 3.6 und 3.8 und 3.11:
(1) [A (B C)] ist wahr.
(1) ist äquivalent mit (2): [A ist wahr. (B C) ist wahr.]
(2) ist äquivalent mit (3): [(A  B) (A C)] ist wahr.
Denn aus [A ist wahr. (B C) ist wahr.] folgt {[(A B) (A C)] ist wahr.} und
aus {[(A B) (A C)] ist wahr.}. folgt [A ist wahr. (B C) ist wahr.].
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

(4) < {[A (B C)] ist wahr.} {[(A B) (A C)] ist wahr.} > ist gegeben.
(4) ist äquivalent mit (5): {[A (B C)] [(A B) (A C)] ist gegeben.} ist gültig.

1.26 Distributivgesetze bezüglich der Konjunktion und der Adjunktion, Teil 2:
[A (B C)] ist äquivalent mit [(A B) (A C)]
SE II

Beweis mithilfe von 1.3 und 2.3 und 3.6 und 3.8 und 3.11:
(1) [A (B C)] ist wahr.
(1) ist äquivalent mit (2): [A ist wahr. (B C) ist wahr.]
(2) ist äquivalent mit (3): [A ist wahr. (B ist wahr. C ist wahr.)]
(3) ist äquivalent mit (4): [(A B) ist wahr. (A C) ist wahr.]
Denn aus [A ist wahr.  (B ist wahr. C ist wahr.)] folgt [(A B) ist wahr. (A C) ist wahr.] und
aus [(A B) ist wahr. (A C) ist wahr.] folgt [A ist wahr. (B ist wahr. C ist wahr.)].
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

(5) < {[A (B C)] ist wahr.} {[(A B) (A C)] ist wahr.} > ist gegeben.
(5) ist äquivalent mit (6): {[A (B C)] [(A B) (A   C)] ist gegeben.} ist gültig.

 

2. Allgemeingültige Feststellungen der Implikation, Typ II

 

2.1 gültig kraft Definition: Aus A folgt A.
SE II

2.2 Der Satz vom Kettenschluss:
Aus [(A B C) ist ein Kettenschluss.] folgt {[(A C) ist gegeben.] ist gültig.}.
SE IV

Beweis mit Hilfe von 1.1 und 1.21 und mithilfe der Transitivität der Teilmengenrelation:

(1) (A B C) ist ist ein Kettenschluss.
(1) ist äquivalent mit (2): [(A B) ist gegeben. (B C) ist gegeben.] ist gültig.
(2) ist äquivalent mit (3): [der logische Gehalt von C der logische Gehalt von B
der logische Gehalt von B der logische Gehalt von A] ist gültig.
Aus (3) folgt (4): [der logische Gehalt von C der logische Gehalt von A] ist gültig.
(4) ist äquivalent mit (5): [(A C) ist gegeben.] ist gültig.

2.3 Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz:
Aus [(A B) ist gegeben. (B C) ist gegeben.] folgt [(A C) ist gegeben.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.2 und mithilfe der Transitivität der Gleichheitsrelation:
(1) (A B) ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): der logische Gehalt von A  =  der logische Gehalt von B
(3) (B C) ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): der logische Gehalt von B  =  der logische Gehalt von C
Aus [(2) (4)] folgt (5): der logische Gehalt von A  =  der logische Gehalt von C
(5) ist äquivalent mit (6): (A C) ist gegeben.

2.4 Aus A folgt (A B).
SE II

Beweis mithilfe von 3.5 und 3.6:
(1) [A ist wahr. (A B) ist wahr.] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[A (A B)] ist gegeben.} ist gültig.

2.5 Aus (A B) folgt A .
SE II

Beweis mithilfe von 3.5 und 3.8:
(1) [(A B) ist wahr. A ist wahr.] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[(A B) A] ist gegeben.} ist gültig.

2.6 Der Satz über die Negation:
Aus NA folgt (¬A).
Dabei ist NA eine beliebige konkrete Negation der Aussage A. SE II

Beweis mithilfe von 2.3 und 3.4 und 3.5 und 4.8:
(1) [„NA ist wahr.“ „A ist unwahr.“] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[NA ist wahr.] [(¬A) ist wahr.]} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {[NA (¬A)] ist gegeben.} ist gültig.

2.7 Aus A folgt (¬NA ).
Dabei ist NA 
eine beliebige konkrete Negation der Aussage A. SE II

Beweis mithilfe von 1.4 und 1.5 und 2.3 und 2.6
und der einschränkenden Voraussetzung, dass (¬A) eine gewöhnliche Aussage ist:
(1) [NA  (¬A)] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[¬ (¬A)] (¬NA )} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {A (¬NA )} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

2.8 zutreffend kraft Definition:
Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [(A NB ) ist gegeben.].
Dabei ist NB eine beliebige konkrete Negation der Aussage B. A ist als gewöhnliche Aussage widerspruchsfrei. SE III

2.9 zutreffend kraft Definition:
Aus [(A B) ist gegeben.] folgt {[A (¬B)] ist gegeben.}.
Denn A ist als gewöhnliche Aussage widerspruchsfrei. SE III

2.10 Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [A und B sind miteinander vereinbar.].
SE III

Beweis mit Hilfe von 2.1 und 2.14:
(1) A ist eine gewöhnliche Aussage.
Aus (1) folgt (2): Alle Implikationen von A sind miteinander vereinbar.
(3) A und B sind Implikationen von A.
Aus [(2) (3)] folgt (4): [A und B sind miteinander vereinbar.]

2.11 Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [(A B) ist gegeben.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.1 und 1.2 und mithilfe der Mengenlehre:
(1) „(A B) ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): der logische Gehalt von A  =  der logische Gehalt von B
Aus (2) folgt (3): der logische Gehalt von B der logische Gehalt von A
(3) ist äquivalent mit (4): (A B) ist gegeben.

2.12 Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang ist zutreffend kraft Definition:
Aus [A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.] folgt
[A und B sind voneinander unabhängig. A und B sind miteinander vereinbar. ].
SE III

2.13 Aus [(A C) ist gegeben. (B C) ist gegeben.] folgt {[(A B) C)] ist gegeben}.
SE III

Beweis mithilfe von 3.1 und 3.5 und 3.6:
(1) [(A C) ist gegeben. (B C) ist gegeben.] ist gültig.
(2) [(A B) ist wahr. (A ist wahr. B ist wahr.)] ist gegeben.
Aus [(1) (2)] folgt (3): [(A B) ist wahr. C ist wahr.] ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): {[(A B) C] ist gegeben.} ist gültig.

2.14 Der Satz über Allsätze ist gültig kraft Definition:
Aus dem Allsatz A folgt der entsprechende Allsatz
bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive eine bestimmte Teilmenge.
SE II

2.15 gültig kraft Definition:
Aus dem Existenzsatz B folgt der entsprechende Existenzsatz bezogen auf ein bestimmtes
umfassendes Gebiet respektive eine bestimmte umfassende Menge.
SE II

2.16 Aus dem Allsatz C über Dinge mit bestimmten vorgeschriebenen Eigenschaften folgt
der entsprechende Allsatz mit einer bestimmten zusätzlichen vorgeschriebenen Eigenschaft.
SE II

Beweis mithilfe von 2.14:
(1) Die zusätzliche Eigenschaft schränkt den Geltungsbereich des Allsatzes tendenziell ein.
Aus [(1) 2.14 ] folgt 2.16.                                     

2.17 Aus dem Existenzsatz D über ein Ding mit mehreren vorgeschriebenen Eigenschaften folgt
der entsprechende Existenzsatz, bei welchem eine bestimmte vorgeschriebene Eigenschaft fehlt.
SE II

Beweis mithilfe von 2.15:
(1) Die fehlende Eigenschaft erweitert tendenziell den Geltungsbereichs des Existenzsatzes.
Aus [(1)   2.15 ] folgt 2.17.

2.18 Der Satz über Sprachebenen ist zutreffend kraft Definition:
Aus [A und B sind Aussagen auf verschiedenen Sprachebenen.] folgt
[Die Aussagen A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.].
SE III

2.19 Aus [A und B widersprechen sich.] folgt [A und B sind voneinander unabhängig.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.21 und 1.24:
(1) A und B sind gewöhnliche Aussagen.
Aus (1) folgt (2): Alle Implikationen von A sind miteinander vereinbar.
Aus (1) folgt (3): Alle Implikationen von B sind miteinander vereinbar.
(4) A und B widersprechen sich.
Aus [(2) (3) (4)] folgt (5) : [(A B) ist gegeben. (B A) ist gegeben.]
Das Kriterium für die Unabhängigkeit ist erfüllt.

2.20 zutreffend kraft Definition:
Aus [(A B) ist gegeben. (A B) ist gegeben.] folgt [(¬B) ist eine konkrete Negation von A.].
SE III

 

3. Allgemeingültige Feststellungen der Äquivalenz, Typ III

 

3.1 Der Satz über wahre Aussagen:
[A ist wahr.] ist äquivalent mit [Alle Implikationen von A sind wahr.].
Dieser Lehrsatz ist ein Axiom der Logik. SE III

3.2 [A ist unwahr.] ist äquivalent mit [Es gibt eine Implikation von A, welche unwahr ist.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.18 und 3.1:
(1) (A ist wahr. Alle Implikationen von A sind wahr.) ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2):
(A ist unwahr. ⇔ Es gibt eine Implikation von A, welche unwahr ist.) ist gegeben.

3.3 Der Satz über den indirekten Beweis:
[A ist wahr.] ist äquivalent mit [(¬A) ist unwahr.].
SE III 

Beweis mithilfe von 1.3 und 1.23 und 4.1 und 4.8:
(1) A ist wahr.
(2) A widerspricht der Aussage (¬A).
Aus [(1) (2)] folgt (3): (¬A) ist unwahr. 

(3) (¬A) ist unwahr.
(4) Entweder (¬A) ist unwahr oder A.
Aus [(3) (4)] folgt (5): A ist wahr.
Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt.

3.4 [A ist unwahr.] ist äquivalent mit [(¬A) ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.18 und 3.3:
(1) [(A ist wahr. (¬A) ist unwahr.] ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): [A ist unwahr. (¬A) ist wahr.] ist gegeben.

3.5 Der Satz über Wahrheitsfeststellungen:
{[(A B) ist gegeben.] ist gültig.} ist äquivalent mit [(A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben.].
SE4

Beweis mithilfe von 1.1 und 2.3 und 3.1:
(1) (A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): (Alle Implikationen von A sind wahr.
Alle Implikationen von B sind wahr.) ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): [Alle Implikationen von B sind auch Implikationen von A.] ist gültig.
(3) ist äquivalent mit (4): [(A B) ist gegeben.] ist gültig.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

3.6 Der Satz über wahre Adjunktionen:
[(A B) ist wahr.] ist äquivalent mit [A ist wahr. B ist wahr.].
Dieser Lehrsatz ist ein Axiom der Logik.  SE III

Hier wird exemplarisch ein Pseudobeweis
mithilfe von 1.3 und  1.8 und
1.9 und 1.18 und 2.3 und 3.4 und 3.8 vorgeführt.
Die Beweisführung ist zirkulär,
denn im Beweis von 1.8 wird 3.6 angewandt.
Außerdem wird zusätzlich vorausgesetzt, dass (¬A
) und (¬B) gewöhnliche Aussagen sind.

(1) {[(¬A ) (¬B)] ist wahr. [(¬A) ist wahr. (¬B) ist wahr.]} ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): {[¬ (A B)] ist wahr.  [(¬A) ist wahr. (¬B) ist wahr.)]} ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {(A B) ist unwahr. [(¬A) ist wahr. (¬B) ist wahr.]} ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): {(A B) ist unwahr. [(A ist unwahr. B ist unwahr.]} ist gegeben.
(4) ist äquivalent mit (5): {(A B) ist wahr. [¬ (A ist unwahr. B ist unwahr.)]} ist gegeben.
(5) ist äquivalent mit (6): {(A B) ist wahr. [A ist wahr.  B ist wahr.]} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

3.7 [(A B) ist unwahr.] ist äquivalent mit [A ist unwahr. B ist unwahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.9 und 1.18 und 2.3 und 3.6:
(1) {[(A B) ist wahr.] [A ist wahr. B ist wahr.]} ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): < {¬ [(A B) ist wahr.]} {¬ [A ist wahr. B ist wahr.]} > ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3):{[(A B) ist unwahr.] {[A ist unwahr. B ist unwahr.]} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

3.8 Der Satz über wahre Konjunktionen:
[(A  B) ist wahr.] ist äquivalent mit [A ist wahr. B ist wahr.].
Dieser Lehrsatz ist ein Axiom der Logik. SE III

3.9 [(A B) ist unwahr.] ist äquivalent mit [A ist unwahr. B ist unwahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.8 und 1.18 und 2.3 und 3.8:

(1) {[(A B) ist wahr.] [A ist wahr. B ist wahr.]} ist gegeben.
(1) ist äquivalent mit (2): < {¬ [(A B) ist wahr.]} {¬ [A ist wahr. B ist wahr.]} > ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): {[(A B) ist unwahr.] {[A ist unwahr. B ist unwahr.]} ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

3.10 richtig kraft Definition:
{[entweder A oder B] ist gültig.} ist äquivalent mit [Entweder A ist wahr oder B ist wahr.].
SE IV

3.11 {[(A B) ist gegeben.] ist gültig.} ist äquivalent mit [(A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben.].
SE IV

Beweis mithilfe von 1.3 und 2.3 und 3.5:
(1) [(A B) ist gegeben.] ist gültig.
(1) ist äquivalent mit (2): [(A B) ist gegeben. (B A) ist gegeben.) ist gültig.
(2) ist äquivalent mit (3): (A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben. ∧ (B ist wahr. A ist wahr.) ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): (A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt. 

3.12 {[(A B) ist gegeben.] ist gültig.} ist äquivalent mit [(A ist unwahr. B ist unwahr.) ist gegeben.].
SE IV

Beweis mithilfe von 1.18 und 2.3 und 3.11:
(1) [(A B) ist gegeben.] ist gültig.
(1) ist äquivalent mit (2): (A ist wahr. B ist wahr.) ist gegeben.
(2) ist äquivalent mit (3): (A ist unwahr. B ist unwahr.) ist gegeben.
Die Transitivität der Äquivalenz wird ausgenützt.

 

4. Allgemeingültige Feststellungen der Implikation, Typ IV

 

4.1 Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
Entweder A ist wahr oder (¬A) ist wahr.
Dieser Lehrsatz ist ein Axiom der Logik. SE III

4.2 Der Satz zum modus ponens:
Aus [(A B) ist gegeben. A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 2.14 und 3.1:
(1) A ist wahr.
(1) ist äquivalent mit (2): Alle Implikationen von A sind wahr.

(3) (A B) ist gegeben.
(3) ist äquivalent mit (4): B ist eine Implikation von A.
Aus [(2) (4)] folgt (5): B ist wahr.

4.3 Der Satz zum modus tollens:
Aus [(A B) ist gegeben. B ist unwahr.] folgt [A ist unwahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 3.2:
(1) [(A B) ist gegeben. B ist unwahr.]
Aus (1) folgt (2): Mindestens eine Implikation von A ist unwahr.
(2) ist äquivalent mit (3): A ist unwahr.

4.4 Die Ausschluss-Methode:
Aus [(A B C) ist wahr. B ist unwahr. C ist unwahr.] folgt [A ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 3.6:
(1) (A B C) ist wahr.
(1) ist  äquivalent mit (2): (A ist wahr. B ist wahr. C ist wahr.)
Aus [(2) B ist unwahr. C ist unwahr.] folgt (3): A ist wahr.

4.5 Ausschluss einer unwahren Aussage:
Aus [(A B C) ist wahr. B ist unwahr.] folgt [(A C) ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 3.6:
(1) (A B C) ist wahr.
(1) ist  äquivalent mit (2): (A ist wahr. B ist wahr. C ist wahr.)
Aus [(2) B ist unwahr.] folgt (3): (A ist wahr. C ist wahr.)
(3) ist  äquivalent mit (4): [(A C) ist wahr.]

4.6 Aus [entweder A oder B oder C] folgt [(A B C) ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 2.2 und 3.6:
(1) [entweder A oder B oder C]
Aus (1) folgt (2): Eine der Komponenten ist wahr.
Aus (2) folgt (3): (A B C) ist wahr.

4.7 Aus {[entweder A oder B oder C] B ist unwahr. C ist unwahr.} folgt [A ist wahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.21 und 2.2 und 4.4 und 4.5:
(1) [(entweder A oder B oder C) B ist unwahr. C ist unwahr.]
Aus (1) folgt (2): [(A B C) ist wahr. B ist unwahr. C ist unwahr.]
Aus (2) folgt (3): A ist wahr.

4.8 Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch:
Aus [A widerspricht der Aussage B.] folgt [A ist unwahr. B ist unwahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.23 und 3.2 und 3.3 und 4.3:
(1) A widerspricht der Aussage B.
(1) ist äquivalent mit (2): Es gibt eine IA , wobei aus B die Aussage (¬IA ) folgt.
Dabei ist IA eine Implikation von A.

1. Fall: IA ist wahr.
IA ist wahr.“ ist äquivalent mit (3): (¬IA ) ist unwahr.
Aus [(2) (3)] folgt (4): B ist unwahr.
Aus (4) folgt (5): [A ist unwahr. B ist unwahr.]

2. Fall: IA ist unwahr.
Aus „IA ist unwahr.“ folgt (6): A ist unwahr.
Aus (6) folgt (5): [A ist unwahr. B ist unwahr.]

4.9 Aus {[entweder A oder B oder C] B ist wahr.} folgt [A ist unwahr. C ist unwahr.].
SE III

Beweis mithilfe von 4.8:
Aus [entweder A oder B oder C] folgt (1) [A widerspricht B. C widerspricht B.]
Aus [(1) B ist wahr.] folgt [A ist unwahr. C ist unwahr.].

4.10 Aus [A ist wahr. B ist wahr.] folgt [A und B sind miteinander vereinbar.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.5 und 1.9 und 4.8:
(1) Aus [A widerspricht B.] folgt [A ist unwahr. B ist unwahr.].
(1) ist äquivalent mit (2): Aus [A ist wahr. B ist wahr.] folgt [A und B sind miteinander vereinbar.].

4.11 Aus [A ist wahr. B ist unwahr.] folgt [(A B) ist gegeben.].
SE III

Beweis mithilfe von 3.1:
(1) A ist wahr.
Aus (1) folgt (2): Alle Implikationen von A sind wahr.
(3) B ist unwahr.
Aus [(2) (3)] folgt (4): Die unwahre Aussage B ist keine Implikation von A.
Aus (4) folgt (5): (A B) ist gegeben.

4.12 Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [A und B haben denselben Wahrheitswert.].
SE III

Beweis mithilfe von 1.2 und 1.21 und 3.1 und 3.2:
(1) (A B) ist gegeben.

1. Fall: (2) A ist wahr.
(2) ist äquivalent mit (3): Alle Implikationen von A sind wahr.
Aus [(1) (3)] folgt (4): Alle Implikationen von B sind wahr.
(4) ist äquivalent mit (5): B ist wahr.

2. Fall: (6) A ist unwahr.
(6) ist äquivalent mit (7): A besitzt eine unwahre Implikation.
Aus [(1) (7)] folgt (8): B besitzt eine unwahre Implikation.
(8) ist äquivalent mit (9): B ist unwahr.

Aus {[(2) (5)] [(6) (9)]} folgt [A und B haben denselben Wahrheitswert.].