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Anhang 7

Anhang 7: Logik in aller Kürze

 

Definitionen

 

1.1 Einen beschreibenden Satz nennt man Aussage.

1.2 Eine Aussage, welche gehaltvoll und widerspruchsfrei ist und außerdem einen Wahrheitswert besitzt, nennt  man gewöhnliche Aussage.

1.3 Die Implikation (A B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B, dass der logische Gehalt von B vollständig im logischen Gehalt von A enthalten ist.

1.4 Die Feststellung einer bestimmten Implikation nennt man Schlussfolgerung.

1.5 Eine Aussage, deren logischer Gehalt vollständig im logischen Gehalt der Aussage A enthalten ist, nennt man Implikation von A.

1.6 Der logische Gehalt der gehaltvollen Aussage A ist die Menge aller Implikationen von A.

1.7 Die Äquivalenz (A  B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B, dass die beiden Aussagen denselben logischen Gehalt haben.

1.8 Die Feststellung [Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.] bedeutet,
dass die Aussage A mit den betreffenden Tatsachen übereinstimmt.

1.9 Eine Aussage, welche bezogen auf alle unendlich vielen charakteristischen Fälle respektive alle charakteristischen Fälle im Universum dasselbe behauptet, nennt man universelles Gesetz.

1.10 Nachvollziehbar bedeutet bei einer bestimmten Schlussfolgerung, dass diese gültig ist, weil ein bestimmtes wahres universelles Gesetze anwendbar ist oder eine bestimmte Schlussregel für einen Spezialfall.

1.11 Durch die Verknüpfung von mehreren gewöhnlichen Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des Bindeworts „und“ entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage. Diese nennt man die Konjunktion der betreffenden Aussagen.

1.12 Durch die Verknüpfung von mehreren gewöhnlichen Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des nicht ausschließenden Bindeworts „oder“ entsteht eine ganz bestimmte gewöhnliche Aussage. Diese nennt man die Adjunktion der betreffenden Aussagen.

1.13 (nicht A): Die abstrakte Negation von A ist diejenige Aussage, welche die gewöhnliche Aussage A verneint, ohne dass eine zusätzliche Information gegeben wird.

1.14 Mit Ausnahme von (nicht A) sind alle Aussagen, welche der gewöhnlichen Aussage A widersprechen, konkrete Negationen von A.

Das Axiomensystem der Logik bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

2.1 Der Satz über wahre Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung
[A ist wahr.] äquivalent mit [A besitzt ausschließlich wahre Implikationen.].

2.2 Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist entweder die Aussage A wahr oder die Aussage (nicht A) ist wahr.

2.3 Der Kontrapositionssatz: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Schlussfolgerung
[Aus A folgt B.] äquivalent mit [Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).].

2.4 Der Satz über wahre Adjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist die Feststellung [Eine bestimmte Adjunktion ist wahr.] äquivalent mit
[Mindestens eine der Komponenten der betreffenden Adjunktion ist wahr.].

2.5 Der Satz über wahre Konjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist die Feststellung [Eine bestimmte Konjunktion ist wahr.] äquivalent mit
[Jede der Komponenten der betreffenden Konjunktion ist wahr.].

Lehrsätze der Logik, ab 3.13 bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

3.1 Der Satz über Sprachebenen: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus [A und B sind Aussagen auf verschiedenen Sprachebenen.], dass der inhaltliche Zusammenhang fehlt.

3.2 Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus der Feststellung [A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.], dass weder die Äquivalenz noch die Implikation noch der Widerspruch möglich ist.

3.3 Das Kriterium für die Äquivalenz: Die Äquivalenz von zwei gehaltvollen Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A die Aussage B folgt und aus B die Aussage A folgt.

3.4 Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus
[A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C.], dass A äquivalent mit C ist.

3.5 Der Satz über Konjunktionen im logischen Gehalt: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung [Die Aussagen B und C sind Implikationen von A.] äquivalent mit
[Die Konjunktion (B und C) ist eine Implikation von A.].

3.6 Der Satz über die Abhängigkeit: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist A äquivalent mit der Konjunktion [A und eine beliebige Implikation von A] und eine bestimmte Implikation von A ist äquivalent mit der Adjunktion [A oder die betreffende Implikation von A].

3.7 Der Satz über die Negation: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus jeder konkreten Negation von A die abstrakte Negation von A.

3.8 Der Satz von der doppelten Verneinung: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist A äquivalent mit der abstrakten Negation der Aussage (nicht A).

3.9 Der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen bedeutet die Feststellung [A ist äquivalent mit B.], dass die abstrakte Negation von A äquivalent ist mit der Aussage (nicht B).

3.10 Die Sätze von De Morgan: Für alle gewöhnlichen Aussagen gelten die Feststellungen der Äquivalenz:
[nicht (A und B)] ist äquivalent mit [(nicht A) oder (nicht B)].
[nicht (A oder B)] ist äquivalent mit [(nicht A) und (nicht B)].

3.11 Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik: Für jeden Allsatz respektive Existenzsatz gelten
bezogen auf den jeweiligen Geltungsbereich die Feststellungen der Äquivalenz:
[nicht (Alle x haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].
[nicht (Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.].
[nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.].
[nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben die Eigenschaft Z.].

3.12 Der Satz über Allsätze: Aus einem bestimmten Allsatz folgt der entsprechende Allsatz bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive eine bestimmte Teilmenge.

3.13 Der Satz vom Kettenschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus [(A B C) ist ein Kettenschluss.], dass die Schlussfolgerung [(A C) ist gegeben.] gültig ist.

3.14 Der Satz über den Zirkelschluss: Für alle gewöhnlichen Aussagen bedeutet die Feststellung
[(A B C A) ist ein Zirkelschluss.], dass die Konjunktion [A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C. und C ist äquivalent mit A.] gültig ist.

3.15 Der Satz zum modus ponens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus [A ist wahr. und Die Implikation (A B) ist gegeben.], dass B ebenfalls wahr ist.

3.16 Der Satz zum modus tollens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus [Die Implikation (A B) ist gegeben. und B ist unwahr.], dass A ebenfalls unwahr ist.

3.17 Der Satz über Wahrheitsfeststellungen: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung
{[Aus A folgt B.] ist gültig.} äquivalent mit der Schlussfolgerung {Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].}.

3.18 Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus
[A widerspricht der Aussage B.], dass A und B nicht beide wahr sind.

3.19 Der Satz über den indirekten Beweis: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung
[A ist wahr.] äquivalent mit [Die Aussage (nicht A) ist unwahr.].

Anwendung der Logik in den Wissenschaften

 

4.1 Gültige Schlussfolgerungen braucht man in der Mathematik, wenn man mit einem Beweis Gewissheit erreichen will.

4.2 Im Rahmen der Naturwissenschaften hat die Skepsis eine methodologische Bedeutung: Bei der Überprüfung einer bestimmten Theorie suchen wir hauptsächlich nach einem Gegenbeispiel. Die Aussage über gegebene Anfangsbedingungen ist wahr. Die abgeleitete Prognose stellt sich aber als unwahr heraus. Das wäre aber sowohl nach dem Satz zum modus ponens als auch nach dem Satz zum modus tollens unmöglich. Der Fehler liegt in der Schlussfolgerung selbst. Es handelt sich um einen Trugschluss, weil die zugrunde liegende Theorie, ein universelles Gesetz, unwahr ist.

4.3 Manchmal ist die abschließende Klärung einer Frage möglich. In diesem Fall können die Logik und andere Gebiete der Mathematik viel zur Lösung des Problems beitragen.

4.4 Bei sich widersprechenden Implikationen einer bestimmten Behauptung läuten die Alarmglocken, dass hier etwas nicht stimmen kann.

4.5 In der Forschung ist es nützlich, den vollständigen Überblick über die Möglichkeiten zu haben bezüglich einer bestimmten Situation. Der vollständige Überblick ist die Grundlage für die Ausschluss-Methode und für Fallunterscheidungen. Bleiben Möglichkeiten unberücksichtigt, so führt das meistens zu einem Trugschluss.

4.6 Zur Überprüfung einer bestimmten Schlussfolgerung kann man den Kontrapositionssatz anwenden.

Heuristische Regeln

 

5.1 Der logische Gehalt einer bestimmten Implikation von A kann nicht größer sein als der logische Gehalt der betreffenden Aussage A.

5.2 Je mehr voneinander unabhängige gewöhnliche Aussagen verknüpft werden, umso größer ist der logische Gehalt der betreffenden Konjunktion.

5.3 Je größer der logische Gehalt der gewöhnlichen Aussage A ist, umso kleiner ist der logische Gehalt der Aussage (nicht A).

5.4 Eine einzige unwahre Implikation von A widerlegt die Aussage A.

5.5 Vom Gegenbeispiel dürfen wir auf die Unwahrheit des betreffenden universellen Gesetzes schließen.

5.6 Weder von der Vereinbarkeit noch von dem Widerspruch bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen darf man auf den Wahrheitswert einer der beiden Aussagen schließen. Aber widersprechen sich zwei gewöhnliche Aussagen und ist die eine davon wahr, so ist die andere unwahr.

5.7 Jedem Kriterium muss eine bestimmte Äquivalenz zugrunde liegen.

5.8 „Wahr“ und „glaubhaft“ darf man nicht verwechseln.

5.9 Der Wahrheitsbeweis für einen bestimmten unwahren Lehrsatz muss fehlerhaft sein.

5.10 Karl Raimund Popper: Man soll keine größere Präzision fordern, als für die betreffende Fragestellung nötig ist.