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Kapitel 1

Das ist die klarste Kritik von der Welt,
Wenn neben das, was ihm missfällt,
Einer was Eigenes, Besseres stellt.

Emanuel Geibel

1. Der logische Gehalt einer Aussage

Die Psychologie befasst sich unter anderem mit den Denkprozessen, also auch mit dem logischen Denken. Die Denkprozesse sind wirklich. – Hingegen sind die Denkprozesse kein Gegenstand für die Logik. Die Feststellung einer bestimmten logischen Struktur, beispielsweise der Widerspruch bei zwei bestimmten Aussagen, ist ein spezielles Ergebnis von bestimmten Denkprozessen. Die logischen Strukturen selbst haben aber genauso wenig mit Psychologie zu tun wie die technische Seite einer bestimmten Erfindung, der gewöhnlich viel Denkarbeit vorausgeht. Psychologische Überlegungen sind nur in dem einen Fall relevant, wenn man die betreffende Erfindung in Verbindung bringt mit psychologischen Fragestellungen, beispielsweise: Unter welchen persönlichen Umständen hatte der Erfinder die zündende Idee für die betreffende Erfindung? – Die Logik ist die Lehre von den logischen Strukturen, ein deduktives System, also eine virtuelle Welt (siehe Kapitel 2).

Das logische Denken ist gekennzeichnet durch die Unterscheidung von wahren Aussagen und unwahren Aussagen, durch das Bemühen um Klarheit (Analyse) und durch gültige Schlussfolgerungen. Logisches Denken kombiniert mit Phantasie (Einfälle, Eingebungen, Gedanken, Ideen, Inspiration, Intuition, Kreativität, schöpferische Antworten) ist bei der Lösung der kleinen und großen Probleme des Alltags ebenso wichtig wie in den Wissenschaften. Der Mut etwas auszuprobieren und die Neugierde spielen dabei eine gewisse Rolle.

Beispiel für das logische Denken

Auf der Flucht erkennt ein Fuchs einen bestimmten Zaun als Hindernis. Der Mensch würde sich
überlegen, wie der Fuchs in dieser Situation damit umgehen soll. Wie sind der betreffende Zaun und das betreffende Gelände beschaffen? Welche Fähigkeiten und Gewohnheiten haben die Verfolger? Soll der Fuchs unter dem Zaun durchkriechen? Soll er versuchen den Zaun mit einem Sprung oder durch Klettern zu überwinden? Soll er die Richtung ändern? Wenn ja, welche Richtung soll er einschlagen? Soll er die Flucht abbrechen und sich verstecken? Eigentlich müsste der Fuchs die Machbarkeit und die Folgen (mögliche Ereignisse) sowie die Vorteile und die Nachteile bei jeder Handlungsalternative (Möglichkeit, Option) bedenken. Doch er hat zu wenig Zeit für logisches Denken. Er muss sich rasch entscheiden bei unvollkommener Information. Das betreffende Problem zu ignorieren, auch eine ungünstige Entscheidung (Wahl), könnte für den Fuchs tödlich sein. Manche psychologischen Faktoren wie Zeitdruck und Angst erschweren das logische Denken.

Die logischen Schriften des Philosophen Aristoteles sind der älteste bekannte Versuch das logische Denken in ein System zu bringen. Aristoteles gilt deshalb als der Vater der Logik. So genial die Idee auch war, haben diese Anfänge doch ihre Schwächen, zum Beispiel: (1) Der aristotelische Syllogismus (siehe unten) deckt nicht alle Möglichkeiten der Schlussfolgerung ab. (2) Bei Aristoteles gab es noch keinen logischen Gehalt der Aussage (siehe unten), sondern nur den Gehalt des Begriffs. Deshalb haben bei ihm Definitionen eine allzu große Bedeutung. (3) Dem logischen Status der Aussage wurde zu wenig Beachtung geschenkt (siehe Kapitel 3).

Beispiel für den aristotelischen Syllogismus

 

Alle Planeten besitzen jeweils eine bestimmte Masse.
Uranus ist ein Planet des Sonnensystems.
Also besitzt Uranus eine bestimmte Masse.

Für Aristoteles wäre hier der Begriff „Planet“ für die betreffende Schlussfolgerung konstituierend. Man sollte sich klar machen, dass bei der betreffenden Schlussfolgerung ein bestimmtes wahres universelles Gesetz angewandt wird, nämlich [Alle Planeten besitzen jeweils eine bestimmte Masse.]. Die Schlussfolgerung erhält somit die nachstehende Form:

Aus der Aussage [Uranus ist ein Planet des Sonnensystems.]
folgt die Aussage [Uranus besitzt eine bestimmte Masse.].

Die gültige Schlussfolgerung – im Sinne des Schließens von einer bestimmten Aussage auf eine zweite bestimmte Aussage – ist der zentrale Begriff der Logik (andere Bezeichnungen: die Feststellung einer bestimmten Implikation, Folgerung, logisches Schließen, Schluss). Signalwörter für die Begründung machen darauf aufmerksam, dass möglicherweise eine gültige Schlussfolgerung vorliegt: also, aufgrund, da, dadurch, daher, danach, daraus ergibt sich, daraus folgt, darum, demnach, denn, deshalb, deswegen, folglich, genau dann / wenn, Grund, hinreichende Bedingung, impliziert, indem, kausal, Konsequenz, mithin, notwendige Bedingung, so, somit, ursächlich, wegen, weil, wenn / dann, weshalb, Wirkung, zumal. Jede Begründung sollte man genau prüfen. – Allerdings ist es verwirrend, wenn man in der Alltagssprache in Bezug auf das Resümee von bestimmten Überlegungen respektive eine bestimmte Entscheidung ebenfalls von „Schlussfolgerungen“ spricht. Dabei handelt es sich meistens bloß um eine bestimmte Meinung (siehe Kapitel 3). Manche glauben, es würde „Schlussfolgerung“ heißen, weil die Folgerungen vermeintlich immer am Schluss (Ende) stehen gemäß dem vernünftigen Motto: Erst nachdenken, dann handeln!

Erste Anwendung der Logik in den Wissenschaften: Gültige Schlussfolgerungen braucht man in der Mathematik, wenn man mit einem Beweis (Nachweis, Verifizierung) Gewissheit erreichen will. – Definition: Prämissen sind Aussagen, die wir in einem bestimmten Beweis als wahr voraussetzen. – Der direkte Beweis ist ein Wahrheitsbeweis für eine bestimmte Behauptung. Dieser geht aus von bestimmten Prämissen (Voraussetzungen). Es kann auch eine einzige Prämisse sein. Eine bestimmte Schlussfolgerung respektive eine Serie von bestimmten Schlussfolgerungen schließt sich an, die alle nachvollziehbar sein müssen (Beweisschritte). Der direkte Beweis endet mit der Konklusion, einer Aussage, welche mit der Behauptung identisch sein soll. – Definition: [Eine bestimmte Schlussfolgerung ist nachvollziehbar.] bedeutet, dass diese gültig ist, weil ein bestimmtes wahres universelles Gesetz anwendbar ist oder eine bestimmte Schlussregel für einen Spezialfall (siehe unten).

Beispiel für den direkten Beweis

Die Wahrheit des Lehrsatzes der euklidischen Elementargeometrie soll nachgewiesen werden: In jedem Rechteck ABCD sind die Diagonalen AC und BD gleich lang.

 

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Beweis durch Anwendung von fünf wahren universellen Gesetzen
der euklidischen Elementargeometrie
und mithilfe des Satzes vom Kettenschluss (siehe unten),
des Satzes über Konjunktionen im logischen Gehalt (siehe Kapitel 5)
und des Satzes zum modus ponens (siehe unten):

(1) In jedem Rechteck sind die vier Innenwinkel rechte Winkel.
Die Aussage (1) ist hier eine Prämisse. Diese ist wahr kraft Definition.
Denn ein „Rechteck“ ist ein Viereck mit dem rechten Winkel an den vier Eckpunkten.

(2) In jedem Viereck ABCD ist die Strecke AB eine gemeinsame Seite der Dreiecke ABC und ABD.
Die Aussage (2) ist hier ebenfalls eine Prämisse. Diese ist wahr kraft Definition.
Denn das „Dreieck“ ist so definiert, dass die geradlinige Verbindung der Eckpunkte A und B eine Dreiecksseite ist.

Aus (1) folgt (3): Jedes Rechteck ist ein Parallelogramm.
Denn jedes Viereck ist eine ebene Figur und alle Senkrechten zu einer bestimmten Strecke verlaufen in derselben Ebene parallel.

Aus (3) folgt (4): In jedem Rechteck ABCD sind die gegenüberliegenden Seiten b und d gleich lang.
Denn in jedem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang.

Aus der Konjunktion [(1) und (2) und (4)] folgt (5):
In jedem Rechteck ABCD sind die Dreiecke ABC und ABD kongruent.
[Zwei bestimmte geometrische Figuren der Zeichenebene sind kongruent.] bedeutet, dass diese sich decken nach Durchführung bestimmter Kongruenz-Abbildungen (Verschiebung, Drehung, Achsenspiegelung parallel zu einer bestimmten Strecke, Achsenspiegelung senkrecht zu einer bestimmten Strecke). Der Kongruenzsatz (sws) wird hier angewandt: Die Kongruenz von zwei bestimmten Dreiecken erkennt man daran, dass diese in zwei bestimmten Seitenmaßen und in dem Maß des betreffenden Zwischenwinkels übereinstimmen.

Aus (5) folgt (6): In jedem Rechteck ABCD sind die Diagonalen AC und BD gleich lang.
Denn in jedem Paar kongruenter Figuren sind zwei beliebige Teilstücke, welche sich entsprechen, gleich groß.
Dieses universelle Gesetz ist ein Axiom der euklidischen Elementargeometrie. Die Aussage (6) ist hier die Konklusion. Die Wahrheit der Aussage (6) ist somit nachgewiesen.

Definition: Die Schlussfolgerung [Aus der Aussage A folgt die Aussage B.] ist die Feststellung einer bestimmten relationalen Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B. Diese besagt, dass der logische Gehalt von B vollständig im logischen Gehalt von A enthalten ist. – Definition: Die betreffende Eigenschaft nennt man Implikation. – Dafür schreibt man kurz (A B). Die Schlussfolgerung
[Aus A folgt B.] bedeutet, dass die Implikation (A B) gegeben ist. Man sagt auch [A impliziert B.].
Definition: Eine Aussage, deren logischer Gehalt vollständig im logischen Gehalt der Aussage A enthalten ist, nennt man Implikation von A. – Alfred Tarskis „Folgerungsmenge“ wird weiterentwickelt zur Definition: Der logische Gehalt der gehaltvollen Aussage A ist die Menge aller Implikationen von A.

Beispiel für den logischen Gehalt

Aussage E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Aussage F: Im Viereck ABCD sind die Diagonalen gleich lang.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

Aus E folgt die Aussage F (Nachweis siehe oben). Also ist die Aussage F eine Implikation von E. Der logische Gehalt der Aussage F ist kleiner als derjenige von E. Denn erstens folgt aus der Aussage E beispielsweise, dass im Viereck ABCD gegenüber liegende Seiten gleich lang sind, was aber nicht aus der Aussage F folgt. Zweitens sind alle Implikationen von F auch Implikationen von E, weil der logische Gehalt von F vollständig im logischen Gehalt von E enthalten ist.

Aus der Definition der Implikation folgt die heuristische Regel: Der logische Gehalt einer bestimmten Implikation von A kann nicht größer sein als der logische Gehalt der  Aussage A. – Ist die betreffende Implikation von A nicht äquivalent mit A, so nimmt der logische Gehalt der betreffenden Aussagen in Deduktionsrichtung ab, insbesondere in einem Kettenschluss (siehe unten). Das logische Schließen ist ein Lesen im logischen Gehalt der betreffenden Aussage wie ein aufmerksames Lesen in einem Buch und ein zweckmäßiges Auswählen eines bestimmten Satzes. Bei diesem Vergleich geht es aber nicht um Fragen der Interpretation, sondern allein um die Frage, ob der betreffende Satz tatsächlich in dem betreffenden Buch steht oder nicht. Entweder ist die eine Möglichkeit objektiv gegeben oder die andere. Die betreffende Frage ist keineswegs belanglos.  – In schwierigen Fällen benötigt man zum Nachweis der Gültigkeit einer bestimmten Schlussfolgerung mehrere Beweisschritte mit Anwendung von bestimmten wahren universellen Gesetzen.

Im Gegensatz zum logischen Schließen ist eine bestimmte Interpretation eines Satzes sehr oft nur eine bestimmte Auslegung des betreffenden Satzes unter mehreren Möglichkeiten, weil dem Satz eine gewisse Unklarheit anhaftet. Selbst wenn ein bestimmter Satz ganz schlicht und eindeutig ist, kann dieser bedeutungsschwanger werden: Wird beispielsweise einer bestimmten Person ein großes Misstrauen entgegengebracht, so helfen keine noch so schönen Worte. In jede Handlung der betreffenden Person, auch von ihr geäußerte Sätze, wird einfach eine böse Absicht hineininterpretiert. In einem anderen Fall stellt sich bei der Interpretation die Frage, warum eine so wichtige Person so etwas Banales gesagt haben könnte. – Bei der Interpretation gibt oft der Kontext, in welchem der betreffende Satz steht, den entscheidenen Hinweis. Auf jeden Fall enthält die Interpretation eines bestimmten Satzes eine subjektive Komponente, die von persönlichen Interessen und von Stimmungen abhängig ist. Eine bestimmte Interpretation eines Satzes kann sogar dazu benutzt werden andere zu täuschen (beeinflussen, manipulieren, überreden, verführen, weismachen).

Abwegig ist die Erwartung, dass man jede Schlussfolgerung allein mithilfe bestimmter formaler Regeln konstruieren kann. Wäre dies möglich, so hätte man beispielsweise für die starke Version der Goldbachschen Vermutung (siehe unten) beziehungsweise für deren abstrakte Negation längst einen direkten Beweis konstruiert. – Der direkte Beweis wird in den meisten Fällen inhaltlich geführt, wobei sehr oft ein bestimmtes wahres universelles Gesetz für die jeweilige Schlussfolgerung nötig ist (siehe oben). Also kann es keine Schlussregeln geben, die allgemein anwendbar sind. Schlussregeln gibt es nur für bestimmte Spezialfälle. Den Mythos von den Schlussregeln findet man schon bei Aristoteles und heute in der formalen Logik (siehe Kapitel 8: Ein fehlerhaftes System).

Schlussregeln für bestimmte Spezialfälle

Die nachstehenden Schlussregeln (1) bis (6) gelten für alle gewöhnlichen Aussagen A, B und C derselben Sprachebene, egal welchen logischen Gehalt diese haben. Die Schlussfolgerungen (7) bis (10) gelten für jeden beliebigen Allsatz respektive Existenzsatz:

(1) Aus (A und B) folgt A.

(2) Aus A folgt A.

(3) Aus A folgt (A oder C).

(4) Aus (A oder C) folgt D.

Die Aussage D ist hier eine beliebige gemeinsame Implikation der Aussagen A und C.
Die Schlussregeln (1) bis (4) kann man als Kettenschluss darstellen:

(A und B) A A (A oder C) D

Der Satz über die Negation:

(5) Aus jeder beliebigen konkreten Negation von A folgt die abstrakte Negation von A.

(6) Aus A folgt die abstrakte Negation jeder beliebigen konkreten Negation von A.
Nach dem Kontrapositionssatz ist die Schlussregel (6) äquivalent mit der Schlussregel (5) (siehe Kapitel 6).

Der Satz über Allsätze:

(7) Aus einem bestimmten Allsatz folgt der entsprechende Allsatz
bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive eine bestimmte Teilmenge.
Das ist eine Verallgemeinerung des aristotelischen Syllogismus (siehe oben).

(8) Aus einem bestimmten Existenzsatz folgt der entsprechende Existenzsatz
bezogen auf ein bestimmtes umfassendes Gebiet respektive eine bestimmte umfassende Menge.

(9) Aus einem bestimmten Allsatz über Dinge mit bestimmten vorgeschriebenen Eigenschaften folgt
der entsprechende Allsatz mit einer bestimmten zusätzlichen vorgeschriebenen Eigenschaft.

(10) Aus einem bestimmten Existenzsatz über ein Ding mit mehreren vorgeschriebenen Eigenschaften
folgt der entsprechende Existenzsatz, bei welchem eine bestimmte vorgeschriebene Eigenschaft fehlt.

Definition: Ein Axiom ist ein universelles Gesetz im Rahmen der Mathematik, welches als wahr gilt, ohne dass man die Wahrheit nachweisen kann. – Axiome sind evident in dem Sinn, dass sie unmittelbar einleuchten, also keines Beweises bedürfen. Manchmal ist ein bestimmtes Axiom hilfreich in einem bestimmten Beweis. Auch die Logik als deduktives System besitzt Axiome, wobei man die höheren Sprachebenen beachten muss. Beispielsweise ist der Satz über wahre Aussagen eines der fünf Axiome der Logik (siehe unten). – Moritz Pasch und David Hilbert haben den Mythos vom Axiomensystem geschaffen: Angeblich kann man alle Lehrsätze eines bestimmten deduktiven Systems aus dem betreffenden Axiomensystem ableiten (Deduktion, folgern, herleiten, logisches Schließen). Das kann man mit einem Gegenbeispiel widerlegen: Der Mathematiker David Hilbert hat versucht für die euklidische Elementargeometrie ein Axiomensystem zu konstruieren. Es besteht aus zwanzig Aussagen über Punkte, Strecken, Geraden, Ebenen und Winkel (siehe unten). Für jeden Lehrsatz der euklidischen Elementargeometrie gibt es einen Beweis. Aber es gibt Lehrsätze, die man nicht aus dem betreffenden Axiomensystem ableiten kann, weil diese Lehrsätze Aussagen sind über Strukturen von größerer Komplexität, zum Beispiel das Dreieck, das regelmäßige Vieleck und der Kreis. – Übrigens sind im Beispiel für den direkten Beweis die Prämissen keine Axiome der euklidischen Elementargeometrie (siehe oben).

Beispiel für das Axiom

Aussage E: „Zu je zwei Punkten A, B gibt es stets eine Gerade a, die mit jedem der beiden Punkte A, B zusammengehört.“
Das universelle Gesetz E ist das erste der zwanzig „Axiome“ von David Hilbert (David Hilbert, Grundlagen der Geometrie, Leipzig 1930, 7. Auflage).
Aussage F: In jedem Rechteck ABCD gilt die Formel:  Flächeninhalt  =  a · b
F ist ein Lehrsatz der euklidischen Elementargeometrie.
Aussage G: Die Strecke AB, also die geradlinige Verbindung, ist die kürzeste Verbindungslinie von zwei beliebigen verschiedenen Punkten A und B.
G ist ein Axiom der euklidischen Elementargeometrie.

Die Gerade wird folgendermaßen definiert: Verlängert man eine beliebige Strecke AB geradlinig über beide Endpunkte hinaus ins Unendliche, so erhält man eine bestimmte „Gerade“. – Die Aussage E beschreibt die vorgeschriebene Eigenschaft der Gerade, dass es zu jeder Strecke AB eine entsprechende Gerade gibt. Folglich ist die Aussage E kein Axiom, sondern wahr kraft Definition. – Im Rahmen der analytischen Geometrie ist der Beweis der Aussage E kein Problem: Soweit die beliebigen Punkte A und B nicht identisch sind, gibt es in jedem Koordinatensystem eine vektorielle Geradengleichung, welche die einzige Gerade durch die Punkte A und B beschreibt. Ebenso liefert die Analysis in jedem zweidimensionalen kartesischen Koordinatensystem eine Lösung für das Zwei-Punkte-Problem, nämlich eine Gleichung für eine bestimmte Gerade. – Für den Lehrsatz F gibt es einen Beweis im Rahmen der euklidischen Elementargeometrie, wobei die Arithmetik angewandt wird. Aber aus dem System der zwanzig „Axiome“ von David Hilbert kann man den Lehrsatz F keinesfalls ableiten.

Definition: Werden mehrere gültige Schlussfolgerungen hintereinandergeschaltet, so erhält man einen Kettenschluss. – Die nachstehenden Feststellungen (1) und (2) gelten für alle gehaltvollen Aussagen:

(1) zutreffend kraft Definition:

[(A B C D) ist ein Kettenschluss.] ist äquivalent mit
{die Konjunktion [Aus A folgt B. und Aus B folgt C. und Aus C folgt D.] ist gültig.}.

(2) Der Satz vom Kettenschluss:

Aus [(A B C D) ist ein Kettenschluss.] folgt {[(A D) ist gegeben.] ist gültig.}.

 

Beispiel für den Kettenschluss

Aussage E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Aussage F: Die Dreiecke ABC und ABD sind kongruent.
Aussage G: Im Viereck ABCD sind die Diagonalen gleich lang.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

Die Schlussfolgerungen [Aus E folgt F.] und [Aus E folgt G.] sind  nicht nachvollziehbar. Deshalb sind hier Beweise erforderlich. Im Beispiel für den direkten Beweis (siehe oben) wird auch die Implikation
(E F) nachgewiesen. Die Schlussfolgerung [Aus F folgt G.] ist nachvollziehbar. (E F G) ist ein Kettenschluss. Daraus folgt, dass die Schlussfolgerung [(E  G) ist gegeben.] gültig ist.

 

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Der Satz über wahre Aussagen  ist ein Axiom der Logik. Zusammen mit dem Satz vom Kettenschluss ist er die Grundlage für den direkten Beweis, welcher die Wahrheit der Prämissen auf die Konklusion überträgt. Die nachstehenden drei Lehrsätze der Logik gelten für alle gewöhnlichen Aussagen der objektsprachlichen Ebene:

(1) Der Satz über wahre Aussagen:

[A ist wahr.] ist äquivalent mit [A besitzt ausschließlich wahre Implikationen.].

(2) Der Satz zum modus ponens:

Aus [A ist wahr. und Die Implikation (A B) ist gegeben.] folgt [B ist wahr.].

(3) Der Satz über Wahrheitsfeststellungen:

{[Aus A folgt B.] ist gültig.} ist äquivalent mit {Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].}.

 

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Beispiel für die Widerlegung einer bestimmten Schlussfolgerung

Aussage A: Jedes Rechteck besitzt einen Umkreis.
A ist wahr.
Aussage B: Jedes Rechteck besitzt einen Inkreis.
B ist unwahr.

Auf dem Umkreis liegen alle vier Eckpunkte des betreffenden Rechtecks. Der Inkreis berührt alle vier Seiten des betreffenden Recktecks. Die Aussage A ist wahr, hingegen die Aussage B unwahr. Weil die wahre Aussage A ausschließlich wahre Implikationen besitzt, kann die unwahre Aussage B keine Implikation von A sein. Die Feststellung [Aus A folgt nicht die Aussage B.] ist somit nachgewiesen, also gültig. Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten ist die Schlussfolgerung [Aus A folgt die Aussage B.] ungültig (siehe Kapitel 6).

Definition: Eine Schlussfolgerung, welche ungültig ist, bezeichnet man als Trugschluss. – Übersieht man eine Möglichkeit, so führt das meistens zu einem bestimmten Trugschluss. Ein Trugschluss ist gegeben, wenn ein bestimmtes unwahres universelles Gesetz angewandt wird (siehe unten). Auch die fälschlich behauptete Äquivalenz respektive die unzulässige Umkehrung der Deduktionsrichtung ist hin und wieder der Ausgangspunkt für einen bestimmten Trugschluss (siehe Kapitel 4). Eine Auflistung der Nachweismethoden für die Nicht-Implikation (Ungültigkeit der Schlussfolgerung) findet man im Kapitel 7. – Ist die Schlussfolgerung [Aus A folgt B.] ungültig, so liefert die wahre Aussage A keine Wahrheitsgarantie für die Aussage B.

Beispiel für den Trugschluss

Aussage E: Das Viereck ABCD ist ein gleichschenkliges Trapez.
Aussage F: Im Viereck ABCD sind die Diagonalen gleich lang.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

Die Schlussfolgerung [Aus E folgt F.] ist ungültig. Zwar sind in jedem gleichschenkligen Trapez, dessen Schenkel nicht parallel verlaufen, die Diagonalen gleich lang (Trapez mit Symmetrie-Achse). Auch das Parallelogramm ist ein gleichschenkliges Trapez, aber meistens ohne Symmetrie-Achse. Das Parallelogramm ist ein Gegenbeispiel: In einem Parallelogramm sind die Diagonalen nur in dem einen Fall gleich lang, wenn das Parallelogramm zugleich ein Rechteck ist. – In manchen Geometriebüchern wird der Fall ohne Symmetrie-Achse übersehen, was zu vier unwahren Lehrsätzen über das gleichschenklige Trapez führt.

Der Satz zum modus tollens gilt für alle gewöhnlichen Aussagen:

Aus [Die Implikation (A B) ist gegeben. und B ist unwahr.] folgt [A ist unwahr.].

Auch der Satz zum modus tollens wird mithilfe des Satzes über wahre Aussagen bewiesen. Die gültigen Schlussfolgerungen übertragen stets die Unwahrheit entgegen der Deduktionsrichtung, also beim  Kettenschluss  vom  Ende  auf  den  Anfang. Folglich gilt die heuristische Regel: Eine einzige unwahre Implikation von A dient als Nachweis für die Unwahrheit der Aussage A. – Definition: Den Nachweis der Unwahrheit nennt man Widerlegung (Falsifikation, Falsifizierung). – Eine Liste der Nachweismethoden für die Unwahrheit findet man im Kapitel 7.

Beispiel für die Widerlegung einer bestimmten Aussage

Behauptung A: Die Raumsonde Galileo ist im September 2003 auf einer Umlaufbahn um den Jupiter mit einer Raumstation zusammengestoßen.
Aussage B: Im September 2003 war auch eine Raumstation auf einer Umlaufbahn um den Jupiter.
B ist unwahr.

Die Schlussfolgerung [Aus A folgt B.] ist gültig. Die Aussage B ist eine Implikation von A, welche aber unwahr ist. Obwohl die Entfernung Erde-Jupiter je nach Konstellation zwischen 589 Millionen und 968 Millionen Kilometer beträgt und es deshalb schwierig ist die aus der Luft gegriffene Behauptung A zu widerlegen, muss man diese wegen der unwahren Implikation von A als Falschmeldung (Fake News, Lüge, Schwindel) zurückweisen. –  Auch die wahre Tatsachenbehauptung C [Am 21.09.2003 verglühte die Raumsonde Galileo ohne eine vorausgehende Kollision in den Wolken des Planeten Jupiter, nachdem diese etwa acht Jahre lang den Jupiter umrundet hatte.] widerlegt die Behauptung A, weil C der Behauptung A widerspricht. Das ist eine Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch (siehe Kapitel 4). – Hintergrund-Information: Mit dem kontrollierten Absturz wollte die NASA vermeiden, dass die betreffende Raumsonde auf dem Jupiter-Mond Europa aufschlägt und dort Keime von der Erde freisetzt. Denn die Raumsonde Galileo war nicht steril und außerdem kurz vor dem Absturz nur noch eingeschränkt manövrierfähig. Unter dem über zehn Kilometer dicken Eispanzer des Monds Europa vermutet man einen Ozean. Und dort wäre eventuell ein dauerhaftes Überleben von Mikroben möglich. Vielleicht leben dort bereits Mikroben, welche nicht von der Erde stammen. In Hinblick auf das Rätsel der Entstehung des Lebens auf der Erde wäre der Nachweis von exoterrestrischen Mikroben auf dem Jupiter-Mond Europa eine wissenschaftliche Sensation.

Eine zweite Anwendung der Logik in den Wissenschaften liegt in der Kritik der vielen Vermutungen, welche wir für wahr halten. Im Rahmen der Naturwissenschaften hat die Skepsis (der Zweifel) sogar eine methodologische Bedeutung. Bei der Überprüfung einer bestimmten Theorie suchen wir hauptsächlich nach einem Gegenbeispiel: Die Aussage A über gegebene Anfangsbedingungen ist wahr. Die abgeleitete Prognose B stellt sich aber als unwahr heraus. Das wäre allerdings sowohl nach dem Satz zum modus ponens als auch nach dem Satz zum modus tollens unmöglich. Der Fehler liegt in der Schlussfolgerung selbst. [Aus A folgt B.] ist in diesem Fall ein Trugschluss, weil die zugrunde liegende Theorie, ein bestimmtes universelles Gesetz, unwahr ist. Es gilt also die heuristische Regel: Vom Gegenbeispiel dürfen wir auf die Unwahrheit des betreffenden universellen Gesetzes schließen. – Beispiele für die Anwendung der Regel findet man oben und in den Kapiteln 3 und 8.

Wahre gewöhnliche Aussagen sind stets hundertprozentig wahr. Demgegenüber sind unwahre Aussagen niemals hundertprozentig unwahr. Denn der logische Gehalt jeder unwahren gewöhnlichen Aussage A enthält die wahre Adjunktion (A oder B), wobei B eine beliebige wahre gewöhnliche Aussage ist (siehe Kapitel 5). – Jede kontradiktorische Aussage ist unwahr, besitzt aber mindestens eine wahre Implikation. – Zwar ist die Konjunktion (A und B) aus der unwahren gewöhnlichen Aussage A und der wahren gewöhnlichen Aussage B unwahr, aber die betreffende Konjunktion besitzt wahre Implikationen, beispielsweise alle Implikationen von B (siehe oben). Die Feststellungen (1) und (2) sind Warnungen vor einem Trugschluss:

(1) Aus [A ist unwahr.] folgt nicht [Jede Implikation von A ist unwahr.].

(2) Aus [Nicht jede Implikation von A ist unwahr.] folgt nicht [A ist wahr.].

Beispiel dafür, dass die Implikation einer bestimmten unwahren Aussage wahr sein kann

Aussage A: Jedes Rechteck besitzt einen Inkreis.
A ist unwahr.
Aussage B: Jedes Quadrat besitzt einen Inkreis.
B ist wahr.
Aussage C: In jedem Rechteck stehen die Diagonalen aufeinander senkrecht.
C ist unwahr.

Aus A folgt [Jedes Rechteck ist ein Quadrat.] und daraus folgt die Aussage C. Beide Schlussfolgerungen sind gültig. Nach dem Satz vom Kettenschluss folgt, dass die Schlussfolgerung [(A C) ist gegeben.] gültig ist. Aus der unwahren Aussage A folgt also die unwahre Aussage C. Aber aus der unwahren Aussage A folgt auch die wahre Aussage B.

Die Wahrheitsfeststellung [Das universelle Gesetz G ist wahr.] darf man als Feststellung einer Implikation formulieren, also als Schlussfolgerung. Hat ein bestimmtes universelles Gesetz den logischen Status einer Vermutung, so ist die entsprechende Schlussfolgerung ebenfalls eine Vermutung, also ein ungeklärter Fall.

Beispiel für den ungeklärten Fall

„Primzahlen“ sind natürliche Zahlen, welche größer als 1 sind und nur durch die Zahl 1 und durch sich selbst teilbar sind. Ein Problem der Zahlentheorie ist die starke Version der Goldbachschen Vermutung [Jede gerade Zahl, welche größer als 2 ist, ist gleich der Summe von zwei bestimmten Primzahlen.]. – Diese Vermutung besitzt den logischen Status eines universellen Gesetzes. Aber der Beweis wird immer noch gesucht. Im Jahr 1742 hat der Mathematiker Christian Goldbach seine Vermutung in abgeschwächter Version als Randnotiz in einem Brief an den Mathematiker Leonhard Euler formuliert. Im Rahmen eines Informatik-Projekts von Jörg Richstein (Universität Gießen) sind im Jahr 1998 alle geraden Zahlen beginnend mit der Zahl 4 bis einschließlich der Zahl 400 Billionen vollständig überprüft worden, ohne dass man ein Gegenbeispiel bezüglich der starken Version der Goldbachschen Vermutung gefunden hat. Es gibt aber unendlich viele positive gerade Zahlen. Deshalb ist die vollständige Überprüfung aller positiven geraden Zahlen unmöglich. Zurzeit wissen wir noch nicht, ob dieses universelle Gesetz wahr ist. Als Schlussfolgerung hätte die starke Version der Goldbachschen Vermutung die nachstehende Form, wobei gemäß den Berechnungen von 1998 die Gültigkeit der entsprechenden Schlussfolgerung nur bis einschließlich der 400-Billionen-Grenze geklärt ist:

Aus [x ist eine gerade Zahl, welche größer als 2 ist.] folgt
[Die Zahl x ist gleich der Summe von zwei bestimmten Primzahlen.].

Mit einem direkten Beweis erreichen wir keine absolute Gewissheit. Der Irrtum wäre im Fall der absoluten Gewissheit unmöglich. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Irrtum ausgeschlossen ist, hätte in diesem Fall den Wert  p  =  1. – Demgegenüber bedeutet Gewissheit nur, dass der Irrtum mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit ausgeschlossen ist, also p  =  0,99. Denn unser Streben nach Erkenntnis ist untrennbar verbunden mit unserer Fehlbarkeit. Fehler sind also möglich, selbst wenn die Sicherheit sehr groß ist. – Man kann sich auch bezüglich der Sicherheit irren. Beispielsweise galt eine lange Zeit die Newtonsche Himmelsmechanik im Rahmen der induktiven Erkenntnistheorie (siehe Kapitel 3) irrtümlich als bewiesenes (sicheres) Wissen. Zwar ist die Newtonsche Himmelsmechanik genial, aber die spezielle Relativitätstheorie von Albert Einstein macht deutlich, dass die betreffende Newtonsche Theorie den logischen Status einer Vermutung hat (p  =  0,5). Auch die spezielle Relativitätstheorie, nach der ein bestimmter Körper aus Materie sich nur langsamer als die Lichtgeschwindigkeit bewegen kann, ist eine geniale Vermutung (p  =  0,5). Wie in diesem Fall können Theorien in einer Konkurrenz-Situation stehen und der Forscher kann meistens entscheiden, welche von ihnen die zurzeit beste Theorie ist (vergleiche die Poppersche Erkenntnistheorie in Kapitel 3).

Absolute Gewissheit ist bei Beobachtungen (singuläre Aussagen siehe Kapitel 3) ebenfalls unerreichbar. Entscheidend für ihre Verlässlichkeit sind voneinander unabhängige Befunde, die übereinstimmen. Deshalb wird eine bestimmte Beobachtung eines bestimmten Forschers mit den Beobachtungen anderer Forscher verglichen. Auch die Wiederholbarkeit eines bestimmten Experiments mit immer gleichem Resultat muss generell gefordert werden. Ein fehlerhafter Versuchsaufbau kann falsche Daten liefern. Es kommt sogar vor, dass ein unehrlicher Forscher Befunde fälscht. Hin und wieder berichten die Massenmedien über einen spektakulären Fall.

Beispiel für die fehlerhafte Beobachtung

Die Europäische Organisation für Kernforschung CERN kam im Jahr 2011 in die Schlagzeilen. Der Teilchenbeschleuniger in Meyrin (Schweiz) hatte in einer bestimmten Versuchsserie gerichtete Neutrino-Bündel auf den 730 km entfernten Detektor im Straßentunnel des Bergs Gran Sasso (Italien) geschickt. Die winzigen Neutrinos durchdringen mit sehr hoher Geschwindigkeit die Erdkruste auf einer geraden Linie nahezu ohne Verluste. Dabei sind 1611 Neutrinos festgestellt worden, welche vermeintlich mit einer höheren Geschwindigkeit als die Lichtgeschwindigkeit unterwegs waren. Diese superschnellen Neutrinos hätten die spezielle Relativitätstheorie (siehe oben) widerlegt. Deshalb hat man mehrfach den Versuchsaufbau überprüft, bis man nach etwa zwei Jahren am 18.11.2011 den Mut hatte den erstaunlichen Befund bekanntzugeben. Allerdings schon am 23.02.2012 mussten die Forscher zurückrudern. Man hat eine lockere Steckverbindung an einem optischen Glasfaserkabel entdeckt, welche die Zeitmessung verfälscht hatte.