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Kapitel 4

 

Wir müssen oft unterscheiden.
Denn Verwirrungen oder auch nur das Fehlen von Unterscheidungen
hindern uns daran, unsere Probleme zu lösen.

Karl R. Popper, Die Welt des Parmenides, S. 66

4. Der logische Zusammenhang

Definition: Zwei bestimmte gehaltvolle Aussagen können einen inhaltlichen Zusammenhang haben. Das bedeutet, dass beide Aussagen Informationen über denselben Gegenstand geben. – In diesem Fall wiederholen sich die betreffenden Aussagen oder sie ergänzen sich. Die Wiederholung muss nicht vollständig sein. Nur bei der Ergänzung kann ein Widerspruch auftreten. Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus der Feststellung [A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.], dass weder die Äquivalenz noch die Implikation noch der Widerspruch möglich ist. – Ohne einen inhaltlichen Zusammenhang sind die Aussagen A und B also voneinander unabhängig und miteinander vereinbar. Definition und das Kriterium für die Unabhängigkeit: Die Unabhängigkeit der gehaltvollen Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A nicht die Aussage B folgt und außerdem aus B nicht die Aussage A folgt. – Die Feststellungen der Symmetrie des inhaltlichen Zusammenhangs respektive der Unabhängigkeit respektive der Vereinbarkeit ist allgemeingültig.

(1) [A steht in einem inhaltlichen Zusammenhang mit B.] ist äquivalent mit
[B steht in einem inhaltlichen Zusammenhang mit A.].

(2) [A ist unabhängig von B.] ist äquivalent mit [B ist unabhängig von A.].

(3) [A ist vereinbar mit B.] ist äquivalent mit [B ist vereinbar mit A.].

Beispiel für zwei Aussagen ohne inhaltlichen Zusammenhang

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Jedes Rechteck besitzt einen Inkreis.
Die analytische Aussage B ist unwahr.

Bei den Aussagen A und B fehlt der inhaltliche Zusammenhang. Die beiden Aussagen sind miteinander vereinbar, obwohl die Aussage B unwahr ist. Außerdem sind die beiden Aussagen voneinander unabhängig.

Definition und das Kriterium für den Widerspruchsbeziehung: Dass die gehaltvolle Aussage E der Aussage F widerspricht, erkennt man daran: Es gibt eine gewöhnliche Aussage G so, dass aus E die Aussage G folgt und aus F die Aussage (nicht G) folgt. – Nach dem Satz über Sprachebenen und nach dem Satz über den inhaltlichen Zusammenhang folgt aus [A widerspricht der Aussage B.], dass die Aussagen A und B derselben Sprachebene angehören (siehe Kapitel 8). – Ist bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen der Widerspruch gegeben, so ist zwar ein inhaltlicher Zusammenhang gegeben, aber die einseitige Implikation und die Äquivalenz sind nicht möglich. Ist dagegen F eine Implikation der kontradiktorischen Aussage H, so können bei den Aussagen F und H die einseitige Implikation und der Widerspruch zugleich gegeben sein. Die Feststellung der Symmetrie bezüglich des Widerspruchs ist allgemeingültig:

[E widerspricht der Aussage F.] ist äquivalent mit [F widerspricht der Aussage E.].

Beispiel für den Widerspruch

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Die analytische Aussage E soll hier wahr sein.
F: Im Viereck ABCD sind die Diagonalen nicht gleich lang.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint. Die Aussage F ist hier unwahr.

Nachweis für den Widerspruch:

Aus der Aussage E folgt die Aussage G [Die Diagonalen im Viereck ABCD sind gleich lang.]. Die Aussage F ist äquivalent mit der Aussage (nicht G). Also folgt aus F die Aussage (nicht G).
Das Kriterium für den Widerspruch ist erfüllt.

Nachweis für die Unabhängigkeit:

Die singulären Aussagen E und F sind gewöhnliche Aussagen. Beide Aussagen sind also widerspruchsfrei. Folglich sind alle Implikationen von E miteinander vereinbar. Ebenso sind alle Implikationen von F miteinander vereinbar. E ist eine Implikation von E, ebenso F eine Implikation von F. Da aber E der Aussage F widerspricht, folgt weder aus E die Aussage F noch folgt aus F die Aussage E.
Das Kriterium für die Unabhängigkeit ist erfüllt.

Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Für alle gewöhnlichen Aussagen der objektsprachlichen Ebene folgt aus der Feststellung [A widerspricht der Aussage B.], dass A und B nicht beide wahr sind. – Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten (siehe Kapitel 6) können die gewöhnliche Aussage A und die Aussage (nicht A) nicht einmal beide unwahr sein. Denn entweder besitzt A einen negativen Wahrheitswert oder die Aussage (nicht A). – Es gibt Signalwörter, die vor dem Widerspruch warnen: dagegen, dementgegen, entweder / oder, im Gegenteil, nicht, sondern, unvereinbar, vielmehr. Es gibt auch Signalwörter, die darauf hinweisen, dass möglicherweise der Widerspruch vorliegt: aber, allerdings, demgegenüber, dennoch, doch, freilich, gleichwohl, hingegen, immerhin, jedoch, obgleich, obschon, obwohl, selbst wenn, trotz, trotzdem, wenn auch, wenngleich, zwar. – Nach dem Kontrapositionssatz (siehe Kapitel 6) bedeutet der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch, dass zwei wahre gewöhnliche Aussagen stets miteinander vereinbar sind. Die Schlussfolgerungen (1) und (2) sind allgemeingültig:

(1) Aus [Die Aussagen A und B sind beide wahr.] folgt [A und B sind miteinander vereinbar.].

(2) Aus [A widerspricht der Aussage B. und A ist wahr.] folgt [B ist unwahr.].

Beispiel für eine Widerlegung mithilfe einer wahren Aussage

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht rot.

Aus [A widerspricht der Aussage B. und A ist wahr.] folgt, dass die Tatsachenbehauptung B unwahr ist.

Definition: Die relationale Eigenschaft von zwei gehaltvollen Aussagen A und B, dass diese denselben logischen Gehalt haben, nennt man Äquivalenz. – Für diese Eigenschaft schreibt man kurz (A B). Zwei bestimmte Aussagen, welche äquivalent sind, unterscheiden sich lediglich durch ihre Form, soweit die beiden Aussagen nicht identisch sind. Also haben zwei bestimmte äquivalente Aussagen denselben logischen Status, insbesondere dieselbe Sprachebene und denselben Wahrheitswert, soweit ein solcher gegeben ist.  – Die große Bedeutung der Äquivalenz für die Logik ist in der Alltagssprache noch nicht angekommen. Für die Äquivalenz gibt es kaum Signalwörter. In Frage kämen die folgenden Wörter: bedeutet, Definition, genau dann / wenn, gleichbedeutend, Kriterium, mit anderen Worten, Zirkelschluss (siehe unten). Eine Fehlerquelle in der Logik ist die fälschlich behauptete Äquivalenz. Doch es gibt ein Kriterium für die Äquivalenz, welches auf der Schlussfolgerung beruht: Die Äquivalenz der Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A die Aussage B folgt und außerdem aus B die Aussage A folgt. – Die Feststellungen (1) bis (4) gelten für alle gehaltvollen Aussagen A, B und C:

(1) Mit der Eigenschaft der Äquivalenz behaupten wir wesentlich mehr
als mit der Eigenschaft der Implikation:
Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [(A B) ist gegeben.], aber nicht umgekehrt.

(2) Die Reflexivität der Äquivalenz:
A ist äquivalent mit A.

(3) Die Symmetrie der Äquivalenz:
[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit [(B A) ist gegeben.].

(4) Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz:
Aus [(A B) ist gegeben. und (B C) ist gegeben.] folgt [(A C) ist gegeben.].

Beispiel für zwei Aussagen, welche äquivalent sind

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
G: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

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Nachweis für die Äquivalenz durch Anwendung von
sieben wahren universellen Gesetzen der euklidischen Elementargeometrie
und mithilfe des Satzes vom Kettenschluss, des Kriteriums für die Äquivalenz
und des Satzes über Konjunktionen im logischen Gehalt (siehe Kapitel 5):

(1) Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
Aus (1) folgt (2): Die Seiten b und d sind gleich lang.
Aus [(2) und Die beiden Diagonalen sind gleich lang. und
Die Seite a ist eine gemeinsame Seite der Dreiecke ABC und ABD.] folgt (3):
Die Dreiecke ABC und ABD sind kongruent.
Aus (3) folgt (4): Die Winkel bei A und bei B sind gleich groß.
Aus (1) folgt (5): die Summe der Innenwinkel bei A und bei B  =  180 °
Aus [(4) und (5)] folgt (6): Die Innenwinkel bei A und bei B sind beide rechte Winkel.
[(1) und (6)] ist äquivalent mit (7): Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Der Nachweis für Implikation (G E) ist somit erbracht.

(7) Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Aus (7) folgt (8): Die Seiten a und c verlaufen parallel und ebenso die Seiten b und d.
Aus (8) folgt (9): Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.
Aus (9) folgt (10): Die gegenüberliegenden Seiten b und d sind gleich lang.
Aus (7) folgt (11): Die Innenwinkel bei A bei B sind beide rechte Winkel.
Aus [(10) und (11) und Die Seite a ist eine gemeinsame Seite der Dreiecke ABC und ABD.] folgt (12):
Die Dreiecke ABC und ABD sind kongruent.
Aus (12) folgt (13): Die Diagonalen im Viereck ABCD sind gleich lang.
[(9) und (13)] ist äquivalent mit (1): Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
Der Nachweis für die Implikation (E G) ist somit erbracht.
Bei den singulären Aussagen E und G ist das Kriterium für die Äquivalenz erfüllt.

Das Viereck ABCD ist ein Modell für alle Rechtecke. Also gilt der obige Nachweis der Äquivalenz für alle Rechtecke. Es handelt sich hier um eine allgemeine Äquivalenz.

Beispiel für zwei Aussagen, welche nicht äquivalent sind

E: Das Viereck RSTU ist ein Rechteck.
Mit dem Viereck RSTU ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint. Die analytische Aussage E ist hier unwahr (siehe unten).
H: Im Viereck RSTU sind die Diagonalen gleich lang.
Die analytische Aussage H ist hier wahr.

Nachweis für die Nicht-Äquivalenz:

Aus E folgt die Aussage H. Aber aus H folgt nicht die Aussage E. Denn aus der wahren Aussage H kann nicht die unwahre Aussage E folgen. Also ist bei den singulären Aussagen E und H das Kriterium für die Äquivalenz nicht erfüllt. Die Aussagen E und H sind zwar voneinander abhängig, aber nicht äquivalent (die einseitige Implikation siehe unten).

Obwohl die Diagonalen im Viereck RSTU gleich lang sind, ist das Viereck RSTU kein Rechteck.
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Definition: Einen Kettenschluss, an dessen Anfang und Ende dieselbe gehaltvolle Aussage steht, nennt man Zirkelschluss. – Der Zirkelschluss kann in linearer Form oder in kreisförmiger Form dargestellt werden:

A B C D A

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Man beachte, dass in einem Zirkelschluss alle Schlussfolgerungen gültig sind wie beim Kettenschluss! Der Zirkelschluss erfüllt das Kriterium für die Äquivalenz: Sowohl in der linearen Form als auch in der kreisförmigen Form kann man den Zirkelschluss mit mehr als zwei Komponenten in zwei Abschnitte unterteilen. Durch Anwendung des Satzes vom Kettenschluss wird die Äquivalenz der gehaltvollen Aussagen A, B, C und D nachgewiesen.

[Aus A folgt B. und Aus B folgt A.] ist äquivalent mit [(A B) ist gegeben.].
[Aus A folgt C. und Aus C folgt A.] ist äquivalent mit [(A C) ist gegeben.].
[Aus A folgt D. und Aus D folgt A.] ist äquivalent mit [(A D) ist gegeben.].

In der kreisförmigen Form gilt zusätzlich:

[Aus B folgt C. und Aus C folgt B.] ist äquivalent mit [(B C) ist gegeben.].
[Aus B folgt D. und Aus D folgt B.] ist äquivalent mit [(B D) ist gegeben.].
[Aus C folgt D. und Aus D folgt C.] ist äquivalent mit [(C D) ist gegeben.].

Auch im Zirkelschluss mit nur zwei Aussagen als Komponenten ist das Kriterium für die Äquivalenz erfüllt: [Aus A folgt B. und Aus B folgt A.]

 

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Der Satz über den Zirkelschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen bedeutet die Feststellung [Ein bestimmter Zirkelschluss ist gegeben.], dass alle Komponenten in dem betreffenden Zirkelschluss nachweislich äquivalent sind. – Aus mehreren äquivalenten Aussagen darf man also einen Zirkelschluss konstruieren. Dabei dürfen die Positionen im Zirkelschluss beliebig vertauscht werden. Man darf sogar die Deduktionsrichtung umkehren. – Allerdings wäre es ein logischer Fehler, einen Zirkelschluss als Wahrheitsbeweis für eine der betreffenden Aussagen auszugeben. Für einen direkten Beweis braucht man neben den nachvollziehbaren Schlussfolgerungen mindestens eine Prämisse, also eine Aussage, deren Wahrheit verbürgt ist.

Beispiel für den Zirkelschluss

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
F: Für den Flächeninhalt gilt im Viereck ABCD die Formel: Flächeninhalt  =  a · b
G: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
H: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit Umkreis.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

Die Schlussfolgerungen im nachstehenden Zirkelschluss sind alle gültig.

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Der Zirkelschluss sagt nur, dass die singulären Aussagen E, F, G und H alle nachweislich äquivalent sind. Mit anderen Worten ist die Äquivalenz nachgewiesen für alle sechs Fälle:

(E F) ist gegeben.
(E  G) ist gegeben.
(E  H) ist gegeben.
(F G) ist gegeben.
(F H) ist gegeben.
(G H) ist gegeben.

Für den Nachweis der Wahrheit der singulären Aussage E benötigt man zusätzlich eine Prämisse. Will man beispielsweise G als Prämisse verwenden, so muss die singuläre Aussage G nachweislich wahr sein.

Definition: Die relationale Eigenschaft von zwei bestimmten gehaltvollen Aussagen A und B, dass die Implikation nur in einer Richtung gegeben ist, nennt man einseitige Implikation. – Es gibt also die einseitige Implikation der ersten Art [Aus A folgt die Aussage B. und Aus B folgt nicht die Aussage A.]. Und es gibt die einseitige Implikation der zweiten Art [Aus A folgt nicht die Aussage B. und Aus B folgt die Aussage A.]. Auf keinen Fall darf man hier die Deduktionsrichtung umkehren. Eine solche Vorgehensweise würde zu einem Trugschluss führen. Bei der einseitigen Implikation muss ein inhaltlicher Zusammenhang gegeben sein. Deshalb müssen bei der einseitigen Implikation beide Aussagen derselben Sprachebene angehören. Außerdem ist im Fall der einseitigen Implikation die Widerspruchsbeziehung unmöglich, soweit es sich um widerspruchsfreie Aussagen handelt. Die nachstehenden Feststellungen (1) und (3) sind gültig für alle gewöhnlichen Aussagen, welche nicht äquivalent sind:

(1) Die Asymmetrie der Implikation:
[(A B) ist gegeben.] ist nicht äquivalent mit [(B A) ist gegeben.].

(2) Warnung vor einem Trugschluss:
Aus [(A B) ist gegeben.] folgt nicht [(B A) ist gegeben.].

Aus [(A B) ist gegeben.] folgt nicht [(B A) ist gegeben.].

(3) Der Ausschluss des Widerspruchs:
Aus [(A B) ist gegeben.] folgt [A und B sind miteinander vereinbar].

Beispiel für die einseitige Implikation

A: Fritz Meier hat bei der Ausspielung am 18.11.2006 im Lotto gewonnen.
B: [Fritz Meier hat bezüglich der Lotto-Ziehung am 18.11.2006 einen Tipp abgegeben. oder
Fritz Meier ist hier am Gewinn einer anderen Person beteiligt.]

Nachweis für die Vereinbarkeit:

Die Tatsachenbehauptung A besitzt den logischen Status einer gewöhnlichen Aussage. Daraus folgt, dass alle Implikationen von A miteinander vereinbar sind. Die Aussagen A und B sind Implikationen von A. Also sind die Aussagen A und B miteinander vereinbar.

Aus der Tatsachenbehauptung A folgt die Aussage B. Die Umkehrung der Deduktionsrichtung ist hier nicht erlaubt. Zum größten Bedauern des Spielers folgt aus B nicht die Aussage A.

Bei zwei bestimmten gehaltvollen Aussagen A und B ist der logische Zusammenhang immer objektiv gegeben und unveränderlich.  Es handelt sich jeweils um eine bestimmte relationale Eigenschaft der betreffenden Aussagen. Haben zwei bestimmte gewöhnliche Aussagen einen inhaltlichen Zusammenhang, so gibt es beim logischen Zusammenhang nur sechs Möglichkeiten. Diese schließen sich gegenseitig aus:

(1) [Bei A und B ist die Äquivalenz gegeben.] bedeutet
[Aus A folgt die Aussage B. und Aus B folgt die Aussage A.].

(2) [Bei A und B ist die einseitige Implikation der ersten Art gegeben.] bedeutet
[Aus A folgt die Aussage B. und Aus B folgt nicht die Aussage A.].

(3) [Bei A und B ist die einseitige Implikation der zweiten Art gegeben.] bedeutet
[Aus A folgt nicht die Aussage B. und Aus B folgt die Aussage A.].

(4) Die Unabhängigkeit der ersten Art ist gegeben, nämlich  [entweder A oder B] (siehe Kapitel 5).
Das bedeutet [A widerspricht der Aussage B. und Eine der beiden Aussagen besitzt einen positiven Wahrheitswert.].
Definition: Die Widerspruchsbeziehung mit Wahrheitsgarantie nennt man Kontravalenz.

(5) [Bei A und B ist die Unabhängigkeit der zweiten Art gegeben, nämlich
der Widerspruch ohne Wahrheitsgarantie.] bedeutet
[A widerspricht der Aussage B. und Beide Aussagen können unwahr sein.].

(6) [Bei A und B ist die Unabhängigkeit der dritten Art gegeben,
nämlich die Unabhängigkeit ohne Widerspruch.] bedeutet
[A und B sind voneinander unabhängig. und A und B sind miteinander vereinbar.].

 

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Beispiel für die Unabhängigkeit ohne Widerspruch

A: Paris ist die Hauptstadt von Frankreich.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Im 20. Jahrhundert hatte die Stadt Paris sehr viel mehr Einwohner als München.
Die Tatsachenbehauptung B ist wahr.

Die gewöhnlichen Aussagen A und B besitzen einen inhaltlichen Zusammenhang, denn beide Aussagen geben Informationen über die Stadt Paris. A und B sind miteinander vereinbar, weil beide Aussagen wahr sind. – Die Aussagen A und B sind voneinander unabhängig. Denn weder folgt aus A die Aussage B, noch folgt aus B die Aussage A. Das bedeutet, dass die Nicht-Implikation (A B) gegeben ist und außerdem die Nicht-Implikation (B A) gegeben ist.