Navigation

Kapitel 6

Es ist Kraft im Widerspruch;
er bringt in jedem Falle dem, der dessen wert ist, Segen.
Aber Lauheit und Kaltsinn bringen nie Segen.

Johann Heinrich Pestalozzi

6. Die abstrakte Negation und konkrete Negationen

Die Negation einer Aussage brauchen wir, wenn wir einem bestimmten Irrtum respektive Lüge entgegentreten. Bei Fallunterscheidungen (Dihairese) haben wir es immer auch mit Negationen zu tun. Viele Signalwörter für die Negation stehen zur Verfügung: anders, angeblich, ausgenommen, ausgeschlossen, außer, Einspruch, Einwand, fälschlich, falsch, Fehlanzeige, Fehler, frei von, Gegensatz, Gegenteil, gelogen, Illusion, irreführend, irrig, Irrtum, kein, keinesfalls, keineswegs, Lüge, mitnichten, nein, nicht, nichts, nie, niemals, niemand, nimmer, nirgends, nirgendwo, ohne, Täuschung, ungültig, unmöglich, unrichtig, unwahr, unwirklich, Verbot, verkehrt, vermeintlich, weder / noch, widerlegt, Widerspruch. Manchmal fehlt bei einer Negation das verneinende Signalwort.

Beispiel für die Negation ohne Signalwort

A: Eine bestimmte rechteckige Tür hat eine Höhe von 2,00 m.
eine konkrete Negation von A: Das betreffende Maß ist 2,15 m.

Definition: Die abstrakte Negation der gewöhnlichen Aussage A ist diejenige Aussage, welche A verneint, ohne dass irgendeine zusätzliche Information gegeben wird. – Für die abstrakte Negation von A schreibt man kurz: (nicht A). Es gilt die heuristische Regel: Je größer der logische Gehalt der gewöhnlichen Aussage A ist, umso kleiner ist der logische Gehalt der Aussage (nicht A). – Das wird deutlich bei den Sätzen von De Morgan (siehe unten), bei den vier Verneinungssätzen der Prädikatenlogik (siehe unten), bei der Anwendung des Satzes von der doppelten Verneinung (siehe unten) und insbesondere bei der Anwendung des Kontrapositionssatzes (siehe unten) auf einen bestimmten Kettenschluss. – Die gewöhnliche Aussage A und die Aussage (nicht A) besitzen dieselbe Sprachebene, weil die Aussage A der Aussage (nicht Awiderspricht (siehe Kapitel 4). Die abstrakte Negation einer bestimmten Vermutung hat ebenfalls den logischen Status einer Vermutung. Die abstrakte Negation einer bestimmten  gewöhnlichen Aussage kann den logischen Status einer kontradiktorischen Aussage haben (siehe unten beim indirekten Beweis).

Beispiel für die abstrakte Negation

A: Am 11.08.1999 gab es auf dem Planeten Erde eine totale Sonnenfinsternis.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
(nicht A) als Kurzantwort: Nein.
(nicht A): Am 11.08.1999 gab es auf dem Planeten Erde keine totale Sonnenfinsternis.
Die Tatsachenbehauptung (nicht A) ist unwahr.

Die Sätze von De Morgan sind Feststellungen der Äquivalenz. Diese gelten für alle gewöhnlichen Aussagen, wobei es sich um abstrakte Negationen handeln muss:

(1) [nicht (A und B)] ist äquivalent mit [(nicht A) oder (nicht B)]
(2) [nicht (A oder B)] ist äquivalent mit [(nicht A) und (nicht B)]

Aus den Sätzen von De Morgan folgt, dass die abstrakte Negation einer bestimmten Konjunktion den logischen Status einer Adjunktion besitzt und die abstrakte Negation einer bestimmten Adjunktion den logischen Status einer Konjunktion.

Definition: Mit Ausnahme von (nicht A) sind alle Aussagen, welche der gewöhnlichen Aussage A widersprechen, konkrete Negationen der Aussage A. – Man kann das Prädikat verneinen, das Subjekt, das Akkusativ-Objekt, das Dativ-Objekt, eine bestimmte Eigenschaft, den besitzanzeigenden Hinweis, den räumlichen Bezug, den zeitlichen Bezug, das Mittel, den Zweck und die Zahl. Durch den Vergleich einer bestimmten konkreten Negation NA mit der Aussage A wird deutlich, in welcher Einzelheit der Widerspruch liegt (der Widerspruch siehe Kapitel 4). Für alle gewöhnlichen Aussagen gilt: Ist die Aussage B eine Implikation von A, welche nicht äquivalent ist mit A, so ist die Aussage (nicht B) eine konkrete Negation von A.

Aus [(A B) ist gegeben. und (A B) ist gegeben.] folgt
[Die Aussage (nicht B) ist eine konkrete Negation von A.].

A: Anton Huber ist am 23.11.2004 in Augsburg mit einem Mercedes W212 (amtliches Kennzeichen:
A K1993) auf den stehenden Opel Astra von Maria Schmid aufgefahren.

konkrete Negationen von A:

N 1: Bei dem betreffenden Verkehrsunfall war nicht Anton Huber der Fahrer des ersten Pkw,
sondern Max Huber.
N 2: Der betreffende Verkehrsunfall ist nicht am 23.11.2004 passiert,
sondern am 23.10.2004.
N 3: Der betreffende Verkehrsunfall ist nicht in Augsburg passiert,
sondern in Ulm.
N 4: Bei dem betreffenden Verkehrsunfall war der erste Pkw kein Mercedes W212,
sondern ein VW Passat.
N 5: Das amtliche Kennzeichen des ersten an dem betreffenden Verkehrsunfall beteiligten Pkws
war nicht A K1993, sondern A KM1993.
N 6: Der zweite an dem betreffenden Verkehrsunfall beteiligte Pkw war kein Opel Astra,
sondern ein Ford-Modell.
N 7: Der zweite Pkw ist zum Zeitpunkt des betreffenden Verkehrsunfalls nicht gestanden,
sondern vorwärts gerollt.
N 8: Nicht Maria Schmid war zum Zeitpunkt des betreffenden Verkehrsunfalls die Halterin
des zweiten Pkw, sondern der Ehegatte.
N 9: Der Fahrer des ersten Pkw ist bei dem betreffenden Verkehrsunfall nicht
auf den zweiten Pkw aufgefahren,
sondern Maria Schmid ist beim Zurücksetzen auf den stehenden Mercedes aufgefahren.

die abstrakte Negation von A:

Die Aussage (nicht A) ist äquivalent mit der Adjunktion

(N 1 oder N 2 oder Noder N 4 oder N 5 oder N 6 oder N 7 oder N 8 oder N),

wobei die Ergänzung „sondern …“ jeweils weggelassen wird.

Nach den Sätzen von De Morgan besitzt hier die abstrakte Negation von A den logischen Status einer Adjunktion, weil die Aussage A als Konjunktion dargestellt werden kann. Das Formular für den Unfallbericht hat den Zweck, den betreffenden Verkehrsunfall übersichtlich und vollständig als Konjunktion zu dokumentieren: A ist äquivalent mit der Konjunktion [(1) Bei dem betreffenden Verkehrsunfall war Anton Huber der Fahrer des ersten Pkw. und (2) Der betreffende Verkehrsunfall ist am 23.11.2004 passiert. und (3) Der betreffende Verkehrsunfall ist in Augsburg passiert. und (4) Bei dem betreffenden Verkehrsunfall war der erste Pkw ein Mercedes W212. und (5) Das amtliche Kennzeichen des ersten an dem betreffenden Verkehrsunfall beteiligten Pkws war A K1993. und (6) Der zweite an dem betreffenden Verkehrsunfall beteiligte Pkw war ein Opel Astra. und (7) Der zweite Pkw ist zum Zeitpunkt des betreffenden Verkehrsunfalls gestanden. und (8) Maria Schmid war zum Zeitpunkt des betreffenden Verkehrsunfalls die Halterin des zweiten Pkw. und (9) Der Fahrer des ersten Pkw ist bei dem betreffenden Verkehrsunfall auf den zweiten Pkw aufgefahren.]. Bei der Anwendung der Sätze von De Morgan muss man beachten, dass die Aussage N 1 [Bei dem betreffenden Verkehrsunfall war nicht Anton Huber der Fahrer des ersten Pkw.] zwar eine konkrete Negation der Aussage A ist, aber die abstrakte Negation der Aussage (1).

Sehr oft ist die abstrakte Negation respektive eine bestimmte konkrete Negation einer bestimmten
gewöhnlichen Aussage mehrdeutig. Die Wahrheitsfeststellung [Eine bestimmte Negation ist wahr.] ist in diesem Fall äquivalent mit [Die entsprechende Adjunktion ist wahr.] beziehungsweise mit der entsprechenden Feststellung der Kontravalenz.  Durch die Angabe einer bestimmten Möglichkeit wird die Negation eindeutig. Durch die Ergänzung „sondern …“ wird die abstrakte Negation mit einer Begründung bekräftigt. Denn für alle gewöhnlichen Aussagen gilt der Satz über die Negation:

(1) Aus jeder konkreten Negation von A folgt die abstrakte Negation von A.

(2) Aus A folgt die abstrakte Negation jeder konkreten Negation von A.

Der logische Gehalt jeder konkreten Negation von A ist also größer als der logische Gehalt von (nicht A).  Nach dem Kontrapositionssatz (siehe unten) ist (1) äquivalent mit (2).

Beispiele für die Mehrdeutigkeit von bestimmten Negationen

A: Am 30.06.2004 war Kathrin Müller 16 Jahre alt.
Die Tatsachenbehauptung A ist eine starke Aussage.

(nicht A): Kathrin Müller war am 30.06.2004 nicht 16 Jahre alt.
Die Wahrheitsfeststellung [(nicht A) ist wahr.] ist äquivalent mit der Feststellung der betreffenden Kontravalenz mit etwa 115 Möglichkeiten für die Angabe des Lebensalters eines Menschen.

N A : Am 30.06.2004 war Kathrin Müller 18 Jahre alt.
Die Tatsachenbehauptung N A ist eine bestimmte konkrete Negation von A und eine starke Aussage.

(nicht N A): Am 30.06.2004 war Kathrin Müller nicht 18 Jahre alt.
Die Tatsachenbehauptung (nicht N A) ist mehrdeutig und eine schwache Aussage.

Aus der konkreten Negation N A  folgt die Aussage (nicht A).

 Aus A folgt die Aussage (nicht N).

 

Für alle gewöhnlichen Aussagen gilt der Satz von der doppelten Verneinung:

A ist äquivalent mit der Aussage [nicht (nicht A)]

Aus diesem Lehrsatz ergibt sich das Kriterium für die abstrakte Negation: Dass die Aussage B die abstrakte Negation von A ist, erkennt man daran, dass die Aussage (nicht B) äquivalent ist mit A.

Beispiel für die doppelte Verneinung

A: In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
Die analytische Aussage A ist eine starke Aussage, die wahr ist.
B: Es gibt ein Rechteck, bei welchem die Diagonalen nicht gleich lang sind.
Die analytische Aussage B widerspricht der Aussage A und ist eine schwache Aussage, die unwahr ist.

Ist die Aussage B die abstrakte Negation von A?

Die Aussage (nicht B) ist [Es gibt kein Rechteck, bei welchem die Diagonalen nicht gleich lang sind.]. Die Aussage (nicht B) ist äquivalent mit A. Das Kriterium für die abstrakte Negation ist erfüllt. Also ist die Aussage B die abstrakte Negation von A.

Für alle gewöhnlichen Aussagen gilt der Kontrapositionssatz, ein Axiom der Logik:

[Aus A folgt B.] ist äquivalent mit [Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).].

Im Beispiel für den indirekten Beweis (siehe unten) wird bei den Schlussfolgerungen [Aus (5) folgt (6).] und [Aus (9) folgt (10).] der Kontrapositionssatz angewandt: {Aus [Die ganze Zahl a ist nicht durch 2 teilbar.] folgt [Die Quadratzahl a 2  ist nicht durch 2 teilbar.].} ist äquivalent mit {Aus [Die Quadratzahl
a 2 ist durch 2 teilbar.] folgt [Die ganze Zahl a ist durch 2 teilbar.].} – Sechste Anwendung der Logik in den Wissenschaften: Mithilfe des Kontrapositionssatzes kann man einen Trugschluss aufdecken. – Früher wurde die Logik mithilfe von Wenn-dann-Sätzen dargestellt. Die Schlussfolgerung [Aus A folgt B.] ist äquivalent mit [Wenn A, dann B.]. Der einzige Vorteil dieser Wenn-dann-Sätze ist, dass der Kontrapositionssatz unmittelbar einleuchtet:

[Wenn A, dann B.] ist äquivalent mit [Wenn (nicht B), dann (nicht A).].

Beispiel für die Anwendung des Kontrapositionssatzes

A: Fritz Meier hat bei der Ausspielung am 15.12.2007 drei Millionen € im Lotto gewonnen.
B: Fritz Meier hat für die Lotto-Ausspielung am 15.12.2007 einen Tipp abgegeben.
(nicht B): Fritz Meier hat für die Lotto-Ausspielung am 15.12.2007 keinen Tipp abgegeben.
(nicht A): Fritz Meier hat bei der Ausspielung am 15.12.2007 keine drei Millionen € im Lotto gewonnen.

Die Schlussfolgerungen [Aus A folgt B.] und [Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).] sind zwar äquivalent, aber beide ungültig. Denn Fritz Meier könnte im Rahmen einer Tipp-Gemeinschaft vom Tipp einer anderen Person profitiert haben.

Für alle gewöhnlichen Aussagen gilt der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen:

(1) {[A B] ist gegeben.} ist äquivalent mit {[(nicht A) (nicht B)] ist gegeben.}.

Warnung vor einem Trugschluss:

(2) Aus [Die Implikation (A B) ist gegeben.] folgt nicht
[Die Implikation [(nicht A) ⇒ (nicht B)] ist gegeben.].

Bei der Anwendung des Kontrapositionssatzes muss man genau hinschauen. [Aus C folgt D.] soll hier gültig sein. Nach dem Kontrapositionssatz und dem Satz von der doppelten Verneinung ist die Schlussfolgerung {[(nicht C) (nicht D)] ist gegeben.} äquivalent mit {[D C] ist gegeben.}. Beide Schlussfolgerungen sind aber ungültig, sofern die Aussagen C und D nicht äquivalent sind. Denn die Umkehrung der Deduktionsrichtung ist nur erlaubt, wenn die Aussagen C und D äquivalent sind. Das führt zu der heuristischen Regel: Jedem Kriterium muss eine bestimmte Äquivalenz zugrunde liegen.

Beispiel für das Kriterium

Der Kongruenzsatz (sss) liefert ein Kriterium für die Kongruenz von zwei bestimmten Dreiecken:
Dass die beiden Dreiecken kongruent sind, erkennt man daran, dass sie in den drei Seitenmaßen übereinstimmen.

D: Die Dreiecke ABC und FGH sind kongruent.
E: Die Dreiecke ABC und FGH stimmen in den drei Seitenmaßen überein.

Die Aussagen D und E sind äquivalent.

1. Fall: Die Dreiecke ABC und FGH haben die Seitenmaße:
[ a = f = 5,7 cm und b = g = 6,5 cm und c = h = 8,0 cm ]
Das Kriterium für die Kongruenz ist erfüllt.
Also sind die beiden Dreiecke kongruent.

2. Fall: Das Dreieck ABC hat die Seitenmaße: [ a = 5,7 cm und b = 6,5 cm und c = 8,0 cm ]
Das Dreieck KLM hat die Seitenmaße: [ k = 5,7 cm und  l = 7,2 cm und m = 8,0 cm ]
Das Kriterium für die Kongruenz ist nicht erfüllt.
Also sind die beiden Dreiecke nicht kongruent.

Beispiel dafür, dass die gewöhnliche Aussage A und eine bestimmte konkrete Negation von A
beide unwahr sein können

B: Die Lehrerin Frau Müller hat am 15.03.2011 ein rotes Kostüm im Unterricht getragen.
Die Tatsachenbehauptung B soll hier wahr sein.

A: Die Lehrerin Frau Müller hat am 15.03.2011 ein blaues Kostüm im Unterricht getragen. – Die gewöhnliche Aussage A widerspricht der wahren Aussage B. Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch ist die gewöhnliche Aussage A unwahr.

NA: Die Lehrerin Frau Müller hat am 15.03.2011 ein gelbes Kostüm im Unterricht getragen. – Die betreffende konkrete Negation von A widerspricht der wahren Aussage B. Nach dem Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch ist die konkrete Negation NA unwahr.

Für alle gewöhnlichen Aussagen der objektsprachlichen Ebene gelten die Feststellungen (1) bis (5).

(1) Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten, ein Axiom der Logik:

Entweder ist die Aussage A wahr oder die Aussage (nicht A).

(2) Der Satz über den indirekten Beweis:

[A ist wahr.] äquivalent mit [Die Aussage (nicht A) ist unwahr.].

(3) ist äquivalent mit dem Lehrsatz (2):

[A ist unwahr.] ist äquivalent mit [Die Aussage (nicht A) ist wahr.].

(4) Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruchs:

Aus [A ist wahr.] folgt [Jede beliebige konkrete Negation NA ist unwahr.].

(5) Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruchs: 

Aus [Eine bestimmte konkrete Negation NA ist wahr.] folgt [A ist unwahr.]. 

(6) Warnung vor einem Trugschluss:

Aus [A ist unwahr.] folgt nicht [Eine bestimmte konkrete Negation NA ist wahr.]. 

(7) Warnung vor einem Trugschluss:

Aus [Eine bestimmte konkrete Negation NA ist unwahr.] folgt nicht [A ist wahr.].

Der indirekte Beweis ist ein Wahrheitsbeweis: Die abstrakte Negation eines bestimmten Lehrsatzes wird widerlegt. Diese Widerlegung bedeutet, dass der betreffende Lehrsatz wahr ist. Die abstrakte Negation des betreffenden Lehrsatzes erweist sich oft nicht nur als unwahre Aussage, sondern als kontradiktorische Aussage.

Beispiel für den indirekten Beweis

Die Wahrheit des Lehrsatzes A soll nachgewiesen werden:
In der Menge der rationalen Zahlen gibt es keine Zahl q, welche die Gleichung   x 2   =  2  erfüllt.

Beweis durch Anwendung der Algebra der Schulmathematik und
zweier wahrer universeller Gesetze der Zahlentheorie,
außerdem mithilfe des Satzes vom Kettenschuss, des Kontrapositionssatzes,
des Satzes über Konjunktionen im logischen Gehalt
und des Satzes über den indirekten Beweis:

(1) In der Menge der rationalen Zahlen gibt es eine Zahl q, welche die Gleichung  x 2   =  2  erfüllt.
Der Existenzsatz (1) ist die abstrakte Negation des Lehrsatzes A. Die Aussage (nicht A) ist zunächst eine Vermutung. 

Aus (1) folgt (2): Die Zahl q besitzt die Normaldarstellung [q  =  a : b] , wobei a und b bestimmte ganze Zahlen sind, die keinen gemeinsamen Teiler haben, und b größer als 0 ist. 
Das universelle Gesetz [Jede rationale Zahl mit Ausnahme der Null besitzt eine eindeutige Normaldarstellung.] ist wahr kraft Definition. Die Null scheidet hier ohnehin als Lösungszahl aus.

Aus [(1) und (2)] folgt (3):   (a : b)  2    =  2
(3) ist äquivalent mit (4):      a 2 :  b 2    =  2
(4) ist äquivalent mit (5):              a 2   =  2 b 2
Aus (5) folgt (6): Die ganze Zahl a ist durch 2 teilbar.
Das ist eine Anwendung des Kontrapositionssatzes auf die Schlussfolgerung:
Aus [Die ganze Zahl a ist nicht durch 2 teilbar.] folgt
[Die Quadratzahl a2 ist nicht durch 2 teilbar.].

[(5) und (6)] ist äquivalent mit (7):  (2 n) 2   =  2 b 2
Weil a durch 2 teilbar ist, darf man a durch (2 n) ersetzen. Dabei ist n eine bestimmte natürliche Zahl.
(7) ist äquivalent mit (8):                    4 n 2    =  2 b
(8) ist äquivalent mit (9):                       b 2   =  2 n 2
Wir haben hier die Seiten der Gleichung vertauscht.
Aus (9) folgt (10): Die ganze Zahl b ist durch 2 teilbar.
Das ist eine Anwendung des Kontrapositionssatzes auf die Schlussfolgerung:
Aus [Die ganze Zahl b ist nicht durch 2 teilbar.] folgt [Die Quadratzahl b2 ist nicht durch 2 teilbar.].

Aus [(6) und (10)] folgt (11): Die Zahlen a und b besitzen einen gemeinsamen Teiler, nämlich die Zwei.
Die Implikation der Aussage (nicht A) (2) widerspricht der Implikation (11). Die Aussage (nicht A) ist also eine kontradiktorische Aussage. Daraus folgt, dass die Aussage (nicht A) unwahr ist. Also ist der Lehrsatz A wahr. 

Es wird oft fälschlich behauptet, die Beweisidee für den obigen indirekten Beweis stünde in dem berühmten Werk von Euklid „Die Elemente“. Nach Clemens Thaer ist der betreffende indirekte Beweis, den schon Aristoteles mehrfach erwähnt hat, nachträglich aus einem vermutlich älteren Werk eingefügt worden (vergleiche: Euklid, Die Elemente, übersetzt aus dem Altgriechischen von Clemens Thaer nach Heibergs Text, Darmstadt 1973, 5. Auflage, S. 462).

Geltungsbereiche von Existenzsätzen beziehungsweise von Allsätzen
lokaleuniverselle
Tatsachenbehauptungenein Teilgebiet des Universumsdas ganze Universum
analytische Aussageneine endliche Mengeeine unendliche Menge

 

Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik gelten für jeden beliebigen Allsatz respektive Existenzsatz bezogen auf den jeweiligen Geltungsbereich:

(1) [nicht (Alle x haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].

(2) [nicht (Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.].

(3) [nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.].

(4) [nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben die Eigenschaft Z.].

Diese vier Feststellungen der Äquivalenz gelten auch für universelle Gesetze (universelle Allsätze) und universelle Existenzsätze. Also besitzt die abstrakte Negation eines bestimmten universellen Gesetzes den logischen Status eines universellen Existenzsatzes. Und die abstrakte Negation eines bestimmten universellen Existenzsatzes besitzt den logischen Status eines universellen Gesetzes. Handelt es sich um eine bestimmte Tatsachenbehauptung, so bezieht sich der lokale Existenzsatz auf ein bestimmtes Teilgebiet des Universums respektive auf eine bestimmte endliche Menge, dagegen der universelle Existenzsatz auf das ganze Universum. Handelt es sich um eine bestimmte analytische Aussage, so bezieht sich der lokale Existenzsatz auf eine bestimmte endliche Menge, dagegen der universelle Existenzsatz auf eine bestimmte unendliche Menge. Eine analoge Klassifizierung ist auch bei den Allsätzen möglich.

Beispiel für die abstrakte Negation eines bestimmten Existenzsatzes

A: Im Universum gibt es Planeten mit einem Ring-System.

Die Tatsachenbehauptung A ist ein wahrer universeller Existenzsatz. Hier geht es um die Eigenschaft Z von Planeten, dass sie ein Ring-System besitzen. Die Tatsachenbehauptung (nicht A) ist zwar unwahr, besitzt aber den logischen Status eines universellen Gesetzes. Die Feststellung [Im Universum gibt es keinen Planeten mit einem Ring-System.] ist äquivalent mit [Jeder Planet ist ohne Ring-System.]. Dieses universelle Gesetz wird widerlegt durch das Gegenbeispiel Saturn. Übrigens haben die Raumsonden Voyager 1 und 2 in den Jahren 1979 bis 1989 die unscheinbaren Ring-Systeme der anderen drei Gasplaneten des Sonnensystems Jupiter, Uranus und Neptun fotografiert.