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Kapitel 7

Gegner glauben uns zu widerlegen, wenn sie ihre Meinung
wiederholen und auf die unsrige nicht achten.

Johann Wolfgang von Goethe

7. Ein Katalog von Nachweismethoden

Möglicherweise denken wir beim Stichwort „Beweis“ zunächst an den Nachweis der Wahrheit für einen bestimmten Lehrsatz der Mathematik. Dies aber wäre eine verengte Sichtweise. Es gibt nämlich sieben weitere Beweisziele: der Nachweis für die Unwahrheit einer bestimmten Aussage, für eine bestimmte Art der Implikation bei zwei bestimmten Aussagen, für eine bestimmte Art der Nicht-Implikation, für die Äquivalenz von zwei bestimmten Aussagen, für die Nicht-Äquivalenz, für die Widerspruchsbeziehung bei zwei bestimmten  Aussagen und für die Vereinbarkeit. Bei den meisten Nachweismethoden spielt die Implikation eine Schlüsselrolle. Hier muss man streng unterscheiden zwischen der Schlussfolgerung [Die Implikation (A B) ist gegeben.] und dem logischen Zusammenhang der einseitigen Implikation [(A B) ist gegeben. und (B A) ist gegeben.].

 

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Im Achteckschema der Beweisziele liegen ein bestimmtes Beweisziel und dessen abstrakte Negation jeweils gegenüber. Die Kettenschluss-Strukturen (1) und (2) gelten für alle gewöhnlichen Aussagen:

(1) A ist äquivalent mit B. Aus A folgt B.  A und B sind miteinander vereinbar.

(2) [A und B] ist wahr. [A ist wahr. und B ist wahr.] ⇒ A und B sind miteinander vereinbar.

Nach dem Kontrapositionssatz sind auch die Kettenschluss-Strukturen (3) und (4) allgemeingültig.

(3) A widerspricht B. Aus A folgt nicht die Aussage B. A ist nicht äquivalent mit B.

(4) A widerspricht B. [A ist unwahr. oder B ist unwahr.] ⇔ [A und B] ist unwahr.

Die in diesem Kapitel aufgelisteten Nachweismethoden sind anwendbar in allen deduktiven Systemen und  sind grundlegend für die Beweislehre. Alle Lehrsätze (universelle Gesetze) der Mathematik sollten bewiesen werden, was aber in seltenen Fällen nicht gelingt, zum Beispiel beim Vier-Farben-Satz und bei den beiden Versionen der Goldbachschen Vermutung (siehe Kapitel 1). Axiome sind zwar nicht beweisbar, aber wenigstens evident. Das Axiomensystem eines bestimmten deduktiven Systems sollte man nicht vorab konstruieren wollen. Dagegen ist es eine gute Methode, so viele Lehrsätze des betreffenden deduktiven Systems wie möglich zu beweisen, wobei die Axiome als nicht beweisbarer Rest herausgefiltert werden.

Für viele ist der Zirkelschluss immer noch ein rotes Tuch: Angeblich ist der Zirkelschluss der trickreiche Versuch eine bestimmte Aussage A direkt zu beweisen, indem man die Aussage A selbst als Prämisse verwendet. Bezeichnenderweise erschöpfen sich die Beispiele für diesen Mythos vom Zirkelschluss in Andeutungen. In diesen Beispielen fehlen sogar die Schlussfolgerungen. Die logische Struktur Zirkelschluss wird in Kapitel 4 ausführlich behandelt. – Die zirkuläre Beweisführung ist ein ganz anderer Fall: Zwar enthält der zirkuläre Beweis in den meisten Fällen keinen Trugschluss, aber er besitzt keine Beweiskraft. Beispielsweise kann man den Satz über wahre Adjunktionen, ein Axiom der Logik, vermeintlich beweisen mithilfe der Sätze von De Morgan. Aber die Sätze von De Morgan selbst werden mithilfe des Satzes über wahre Adjunktionen bewiesen. Bemerkenswert ist, dass in dem betreffenden Pseudobeweis die Sätze von De Morgan nicht als Prämissen verwendet werden. Vielmehr werden diese bei Feststellungen der Äquivalenz angewandt (siehe Anhang 3: Beweise für die Lehrsätze der Logik , Punkt 3.6). Denn hier geht es um den Nachweis für die Äquivalenz im Rahmen einer allgemeingültigen Feststellung. Im Gegensatz zum direkten Beweis, ein Nachweis für die Wahrheit, benötigt man beim Nachweis für die Äquivalenz keine Prämissen. Schließlich können auch zwei unwahre Aussagen äquivalent sein.

Wenn man meint, man habe ein bestimmtes Axiom bewiesen, muss man immer nachprüfen, ob nicht eine zirkuläre Beweisführung vorliegt. Zur Erleichterung der Nachprüfung empfiehlt es sich, die Elemente des betreffenden deduktiven Systems, also die Definitionen, die Axiome, die bewiesenen universellen Gesetze und die noch nicht bewiesenen universellen Gesetze zu nummerieren und die jeweiligen Nummern anzugeben, welche in dem betreffenden Beweis bei Schlussfolgerungen respektive Feststellungen der Äquivalenz angewandt werden. Selbstverständlich sollten auch die Lehrsätze der Logik bewiesen werden. Denn entgegen dem herrschenden Dogma, in der Logik könne man die Lehrsätze nicht beweisen, ist dies durchaus möglich. Auch die Logik ist ein deduktives System (siehe Anhang 3).

 

(1) Nachweis für die Implikation (A B)

 

1.1 Aus A wird die Aussage B abgeleitet, wobei jede Schlussfolgerung nachvollziehbar sein muss.

1.2 Die Implikation [(nicht B) (nicht A)] wird nachgewiesen. Anschließend wird der Kontrapositionssatz angewandt.

1.3 Die Aussagen A und B sind äquivalent.
Die Nachweismethoden für die Äquivalenz sind relevant.

1.4 Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].

1.5 Wir wenden den Satz vom Kettenschluss an:
Aus [(A C) ist gegeben. und (C B) ist gegeben.] folgt [(A B) ist gegeben.].

1.6 Sonderfall: [A ist eine konkrete Negation von C. und Die Aussage B ist äquivalent mit der abstrakten Negation von C.]
Die Nachweismethoden für den Widerspruch und für die Äquivalenz sind relevant.

1.7 Sonderfall: Die Aussage B ist die abstrakte Negation einer bestimmten konkreten Negation der Aussage A.
Die Nachweismethoden für den Widerspruch sind relevant.

1.8 Sonderfall: [Die Aussage A hat den logischen Status einer Konjunktion. und Die Aussage B ist eine Komponente der betreffenden Konjunktion.]

1.9 Sonderfall: [Die Aussage A hat den logischen Status einer Adjunktionund Die Aussage B ist eine gemeinsame Implikation aller Komponenten der betreffenden Adjunktion.]

1.10 Sonderfall: [Die Aussage B hat den logischen Status einer Konjunktion. und Alle Komponenten der betreffenden Konjunktion sind Implikationen von A.]

1.11 Sonderfall: [Die Aussage A ist ein Allsatz. und Die Aussage B unterscheidet sich von A nur dadurch, dass sich die Aussage B auf ein Teilgebiet respektive Teilmenge bezieht.]

1.12 Sonderfall: [Die Aussage A ist ein Allsatz. und Die Aussage B unterscheidet sich von A nur dadurch, dass eine zusätzliche Eigenschaft vorgeschrieben wird.]

1.13 Sonderfall: [Die Aussage A ist ein Existenzsatz. und Die Aussage B unterscheidet sich  von A nur dadurch, dass sich die Aussage B auf ein umfassendes Gebiet respektive umfassende Menge bezieht.]

1.14 Sonderfall: [Die Aussage A ist ein Existenzsatz. und Die Aussage B unterscheidet sich  von A nur dadurch, dass eine bestimmte vorgeschriebene Eigenschaft fehlt.]

 

(2) Widerlegung einer Schlussfolgerung: Nachweis für die Nicht-Implikation (A B)

 

2.1 Der logische Gehalt von B ist größer als derjenige von A.

2.2 [Aus B folgt die Aussage C. und Aus A folgt nicht die Aussage C.]
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

2.3 Die Aussagen A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.

2.4 A widerspricht der Aussage B, wobei A eine widerspruchsfreie Aussage ist.
Die Nachweismethoden für den Widerspruch sind relevant.

2.5 [Die Aussage A ist wahr. und Die Aussage B ist unwahr.]
Die Nachweismethoden für die Wahrheit und für die Unwahrheit sind relevant.

2.6 Die Schlussfolgerung [Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A)] wird widerlegt. Anschließend wird der Kontrapositionssatz angewandt.

2.7 Die Aussagen A und B gehören nicht derselben Sprachebene an.

2.8 Aus [A ist wahr.] folgt nicht [B ist wahr.].

 

(3) Nachweis für die Äquivalenz (A B)

 

3.1 Das Kriterium für die Äquivalenz ist erfüllt: [Aus A folgt die Aussage B. und Aus B folgt die Aussage A.]
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

3.2 Wir nützen die Transitivitätseigenschaft der Äquivalenz aus:
Aus [(A C) ist gegeben. und (C B) ist gegeben.] folgt [(A B) ist gegeben.].

3.3 Die Aussagen A und B sind Komponenten in einem bestimmten  Zirkelschluss.
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

3.4 Die Aussage (nicht A) ist äquivalent mit der Aussage (nicht B).

3.5 [A ist wahr.] ist äquivalent mit [B ist wahr.].

3.6 [A ist unwahr.] ist äquivalent mit [B ist unwahr.].

 

(4) Nachweis für die Nicht-Äquivalenz (A B)

 

4.1 Das Kriterium für die Äquivalenz ist nicht erfüllt:
[Aus A folgt nicht die Aussage B. oder Aus B folgt nicht die Aussage A.]
Die Nachweismethoden für die Nicht-Implikation sind relevant.

4.2 Die Wahrheitswerte der Aussagen A und B sind verschieden.
Die Nachweismethoden für die Wahrheit und für die Unwahrheit sind relevant.

4.3 A widerspricht der Aussage B, wobei  A und B widerspruchsfreie Aussagen sind.
Die Nachweismethoden für den Widerspruch sind relevant.

4.4 Die Aussagen A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang.

4.5 Die Aussagen A und B gehören nicht derselben Sprachebene an.

4.6 Die Aussage (nicht A) ist nicht äquivalent mit der Aussage (nicht B).

4.7 [A ist wahr.] ist nicht äquivalent mit [B ist wahr.].

4.8 [A ist unwahr.] ist nicht äquivalent mit [B ist unwahr.].

 

(5) Nachweis für die Wahrheit der Aussage B

 

5.1 direkter Beweis: Aus der wahren Aussage A wird die Aussage B abgeleitet.
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

5.2 indirekter Beweis: Die Aussage (nicht B) wird widerlegt.
Die Nachweismethoden für die Unwahrheit sind relevant.

5.3 Die Aussage B ist äquivalent mit der wahren Aussage A.
Die Nachweismethoden für die Äquivalenz sind relevant.

5.4 Sonderfall: Die Tatsachenbehauptung B stimmt mit den betreffenden Tatsachen überein.

5.5 Sonderfall Ausschluss-Methode:  Erstens ist die Aussage B eine Komponente einer bestimmten wahren Adjunktion beziehungsweise eine Komponente bei der Feststellung einer bestimmten Kontravalenz. Zweitens werden alle Komponenten bis auf die Aussage B überprüft. Sind alle anderen Komponenten nachweislich unwahr, so ist die Komponente B wahr.
Die Nachweismethoden für die Unwahrheit sind relevant.

5.6 Sonderfall: Die Aussage B behauptet die Gleichheit beziehungsweise Ungleichheit von zwei bestimmten Zahlen (Terme).  Der Nachweis der Wahrheit erfolgt, indem man nachrechnet beziehungsweise algebraische Umformungen durchführt.

5.7 Sonderfall: Die Aussage B ist ein universeller Existenzsatz respektive lokaler Existenzsatz. B wird durch einen einzigen positiven Fall verifiziert.

5.8 Sonderfall: Die Aussage B ist ein lokaler Allsatz. Die Wahrheit von B kann man durch eine vollständige Überprüfung der betreffenden Fälle beweisen.

5.9 Sonderfall: [Die Aussage B hat den logischen Status einer Konjunktion. und Alle Komponenten der betreffenden Konjunktion sind wahr.]

5.10 Sonderfall: [Die Aussage B hat den logischen Status einer Adjunktionund Mindestens eine Komponente der betreffenden Adjunktion ist wahr.]

 

(6) Widerlegung der Aussage A: Nachweis für die Unwahrheit von A

 

6.1 Aus der Aussage A folgt die unwahre Aussage B.
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

6.2 Die Aussage (nicht A) ist wahr.
Die Nachweismethoden für die Wahrheit sind relevant.

6.3 [B ist wahr. und A widerspricht der Aussage B.]
Die Nachweismethoden für die Wahrheit und für den Widerspruch sind relevant.

6.4 Sonderfall: Die Aussage A hat den logischen Status eines universellen Gesetzes respektive eines lokalen Allsatzes. A kann widerlegt werden mit einem bestimmten Gegenbeispiel.

6.5 Sonderfall: Die Aussage A hat den logischen Status eines lokalen Existenzsatz. A kann widerlegt werden durch eine vollständige Überprüfung der betreffenden Fälle.

6.6 Sonderfall: Die Aussage A behauptet die Gleichheit beziehungsweise Ungleichheit von zwei bestimmten Zahlen (Terme). A kann widerlegt werden, indem man nachrechnet beziehungsweise algebraische Umformungen durchführt.

6.7 Sonderfall: Die Aussage A ist eine Komponente bei der Feststellung einer Kontravalenz. Wird die Wahrheit einer anderen Komponente nachgewiesen, so ist A unwahr.
Die Nachweismethoden für die Wahrheit sind relevant.

6.8 Sonderfall: Die Aussage A ist kontradiktorisch. Mindestens zwei Implikationen von A widersprechen sich.
Die Nachweismethoden für die Implikation und für den Widerspruch sind relevant.

6.9 Sonderfall: [Die Aussage A hat den logischen Status einer Konjunktionund Mindestens eine Komponente der betreffenden Konjuktion ist unwahr.]

6.10 Sonderfall: [Die Aussage hat den logischen Status einer Adjunktion. und Alle Komponenten der betreffenden Adjuktion sind unwahr.]

 

(7) Nachweis des Widerspruchs bei den Aussagen A und B

 

7.1 Das Kriterium für den Widerspruch ist erfüllt:
[Aus A folgt die gewöhnliche Aussage C. und Aus B folgt die Aussage (nicht C).]
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

7.2 Die Aussage B ist äquivalent mit der Aussage (nicht A).

7.3 Die Aussage A ist äquivalent mit der Aussage (nicht B).

7.4 Die Aussage B ist eine konkrete Negation von A respektive
die Aussage A eine konkrete Negation von B.

 

(8) Nachweis für die Vereinbarkeit von A und B

 

8.1 Die Aussagen A und B sind beide wahr.
Die Nachweismethoden für die Wahrheit sind relevant.

8.2 Bei den Aussagen A und B fehlt der inhaltliche Zusammenhang.

8.3 Die Aussage B ist eine Implikation von A, wobei A eine widerspruchsfreie Aussage ist.
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

8.4 Die Aussage A ist eine Implikation von B, wobei B eine widerspruchsfreie Aussage ist.
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

8.5 [C ist eine widerspruchsfreie Aussage. und Die beiden Aussagen A und B sind Implikationen von C.]
Die Nachweismethoden für die Implikation sind relevant.

8.6 Das Kriterium für den Widerspruch ist nicht erfüllt.
Es gibt also keine gewöhnliche Aussage C so, dass gilt:
[Aus A folgt die Aussage C. und Aus B folgt die Aussage (nicht C).]

8.7 Die Aussagen A und B gehören nicht derselben Sprachebene an.