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Kapitel 8

Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden, aber nicht einfacher.

Albert Einstein

8. Ein fehlerhaftes System

Es ist merkwürdig, dass die Logik und das logische Denken heute so wenig miteinander zu tun haben. In der modernen Literatur über die Logik findet man fast immer nur die formale Logik, welche die echte Implikation (Schlussfolgerung) ziemlich unmotiviert durch die materiale Implikation ersetzen möchte. Für die formale Logik sind auch andere Bezeichnungen üblich: Logistik, mathematische Logik, symbolische Logik. – Die formale Logik geht auf eine undurchführbare Idee des Universalgelehrten Gottfried Wilhelm Leibniz zurück. Leibniz wollte die Schlussfolgerung behandeln wie eine Rechenoperation (Kalkül): Wie eine bestimmte Rechenoperation unabhängig von der Größe der jeweiligen Zahlen funktioniert, soll die Schlussfolgerung unabhängig vom logischen Gehalt der jeweiligen Aussagen funktionieren. Der Logiker Gottlob Frege hat die formale Logik als System entwickelt. Es handelt sich um ein fehlerhaftes System, welches eine Variante des Mythos von den Schlussregeln darstellt (siehe Kapitel 1). Im Jahr 1910 haben die Philosophen Alfred North Whitehead und Bertrand Russel mit dem Erscheinen des 1. Bands von „Principia Mathematica“ der formalen Logik zum Durchbruch verholfen (siehe unten). Aber für das problemlösende Denken der rationalen Praxis, insbesondere für die Beweise in der Mathematik, ist die formale Logik irrelevant.

ABA und B
Konjunktion
wahrwahrwahr
wahrunwahrunwahr
unwahrwahrunwahr
unwahrunwahrunwahr
ABA oder B
Adjunktion
wahrwahrwahr
wahrunwahrwahr
unwahrwahrwahr
unwahrunwahrunwahr
AB(nicht A) oder B
materiale Implikation
angeblich: wenn A, dann B
wahrwahrwahr
wahrunwahrunwahr
unwahrwahrwahr
unwahrunwahrwahr
ABA oder (nicht B)
materiale Implikation
angeblich: wenn B, dann A
wahrwahrwahr
wahrunwahrwahr
unwahrwahrunwahr
unwahrunwahrwahr
AB[(nicht A) oder B] und [A oder (nicht B)]
materiale Äquivalenz
angeblich: genau dann B, wenn A
wahrwahrwahr
wahrunwahrunwahr
unwahrwahrunwahr
unwahrunwahrwahr

Die formale Logik geht aus von Wahrheitstafeln. Dabei handelt es sich um eine Anwendung des Satzes über wahre Adjunktionen und des Satzes über wahre Konjunktionen (siehe Kapitel 5), wobei die abstrakte Negation eine gewisse Rolle spielt. Von den insgesamt 16 Wahrheitstafeln sind hier nur fünf relevant. Eine vollständige Übersicht über die zweistelligen Wahrheitsfunktionen findet man im Anhang 4.  Jede der verschiedenen Wahrheitstafeln führt zu jeweils vier allgemeingültigen Schlussfolgerungen, also zur allgemeingültigen Feststellung von vier echten Implikationen. Beispielsweise entspricht die Wahrheitstafel für die Adjunktion ohne abstrakte Negationen den nachstehenden vier allgemeingültigen Schlussfolgerungen:

(1) Aus [A ist wahr. und B ist wahr.] folgt [(A oder B) ist wahr.].
(2) Aus [A ist wahr. und B ist unwahr.] folgt [(A oder B) ist wahr.].
(3)Aus [A ist unwahr. und B ist wahr.] folgt [(A oder B) ist wahr.].
(4) Aus [A ist unwahr. und B ist unwahr.] folgt [(A oder B) ist unwahr.].

ABA B
echte Äquivalenz
(A B) und [B A)
einseitige Implikation, 1.Art
wahrwahrmöglichmöglich
wahrunwahrunmöglichunmöglich
unwahrwahrunmöglichmöglich
unwahrunwahrmöglichmöglich
AB(A B) und [B A)
einseitige Implikation, 2.Art
entweder A oder B
Widerspruch mit Wahrheitsgarantie
wahrwahrmöglichunmöglich
wahrunwahrmöglichmöglich
unwahrwahrunmöglichmöglich
unwahrunwahrmöglichunmöglich
ABA und B widersprechen sich
ohne Wahrheitsgarantie.
Unabhängigkeit
ohne Widerspruch
wahrwahrunmöglichmöglich
wahrunwahrmöglichmöglich
unwahrwahrmöglichmöglich
unwahrunwahrmöglichmöglich

Die Wahrheitstafeln betreffen die logischen Verknüpfungen Adjunktion und Konjunktion. Man kann aber auch untersuchen, wie die Wahrheitswerte der gewöhnlichen Aussagen A und B den logischen Zusammenhang von A und B beeinflussen. Allerdings wird diese Frage in der formalen Logik weitgehend ausgeblendet. Die Wahrheitswerte der gewöhnlichen Aussagen A und B allein sagen wenig über den logischen Zusammenhang, denn der logische Gehalt von A und derjenige von B sind hier maßgebend. Deshalb entspricht die echte Implikation auch keiner Wahrheitsfunktion. Ist bei den betreffenden Aussagen kein inhaltlicher Zusammenhang gegeben, so darf man die echte Äquivalenz, die echte einseitige Implikaton, den Widerspruch mit Wahrheitsgarantie (die Kontravalenz) und den Widerspruch ohne Wahrheitsgarantie sowieso ausschließen. Die sechs Tabellen zeigen nur sieben Fälle, in denen ein bestimmter logischer Zusammenhang unmöglich ist. Die nachstehenden allgemeingültigen Schlussfolgerungen bei (1) bis (4) sind ein Nachweis für die jeweilige Unmöglichkeit:

(1) Aus [Die gewöhnlichen Aussagen A und B sind äquivalent.] folgt, dass A und B denselben Wahrheitswert haben.]. Nach dem Kontrapositionssatz ist diese allgemeingültige Schlussfolgerung äquivalent mit {Aus [Die gewöhnlichen Aussagen A und B haben verschiedene Wahrheitswerte.] folgt, dass die echte Äquivalenz (AB) nicht gegeben ist.}.

(2) Weil die wahre gewöhnliche Aussage ausschließlich wahre Implikationen besitzt, folgt aus [A ist wahr. und B ist unwahr.], dass die echte Implikation (A B) nicht gegeben ist.

(3) Aus der Konjunktion [Die gewöhnlichen Aussagen A und B haben denselben Wahrheitswert. und A und B sind nicht echt äquivalent.] folgt, dass die Feststellung der Kontravalenz [entweder A oder B] eine kontradiktorische Aussage ist. Daraus folgt weiter, dass in diesem Fall bei den Aussagen A und B die Kontravalenz nicht gegeben ist.

(4) Aus [A ist wahr. und B ist wahr.] folgt, dass bei den gewöhnlichen Aussagen A und B der Widerspruch nicht gegeben ist. Das ist eine Anwendung des Kontrapositionssatzes auf den Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch (siehe Kapitel 4).

In seinen Ausführungen zur Korrespondenztheorie der Wahrheit hat der Logiker Alfred Tarski auf die Unterscheidung von Sprachebenen in der Logik aufmerksam gemacht. Bedauerlicherweise hat er diesen wichtigen Forschungsansatz nicht weiterverfolgt. Das krampfhafte Streben nach Formalisierung hat der Logik nicht gutgetan. – Definition: Die objektsprachliche Ebene besitzt nur Aussagen über bestimmte Objekte der realen Welt, über bestimmte Erlebnisse und über bestimmte Elemente einer bestimmten virtuellen Welt, aber keine Aussagen über Aussagen. – Definition: Die metasprachliche Ebene besitzt nur Aussagen über eine bestimmte Aussage der objektsprachlichen Ebene respektive über mehrere solcher Aussagen. – Beispiele für metasprachliche Aussagen sind Feststellungen einer bestimmten Art der echten Implikation (Schlussfolgerungen), Feststellungen der echten Äquivalenz, Feststellungen der Unabhängigkeit, Feststellungen des Widerspruchs, Feststellungen des inhaltlichen Zusammenhangs, Aussagen über den logischen Status einer bestimmten Aussage (insbesondere Wahrheitsfeststellungen), Aussagen über den logischen Gehalt einer bestimmten Aussage, Werturteile über bestimmte Aussagen, Definitionen von bestimmten Aussagetypen. – Die Logik hat viel mit Sprache zu tun und es ist keineswegs erstaunlich, dass die meisten Aussagen im Rahmen der Logik metasprachlich sind, auch einige Lehrsätze der Logik. Die Logik könnte ein Gegenstand der Linguistik, der Informatik, der Pädagogik und der Didaktik sein und diesen Wissenschaften Impulse geben. Die artikulierte Sprache dient nicht nur der Kommunikation, sondern auch dem Ziel unsere kognitiven Fähigkeiten voll zu entwickeln. Wichtige Erfindungen auf diesem Weg waren die Arithmetik, die Schriftkultur, die Mathematik, die Universität, der Buchdruck, die Schulpflicht, das Internet und besonders die Logik.

Logische Texte ohne Aussagen auf höheren Sprachebenen gibt es nicht. Es bringt mehr Klarheit, wenn man in Bezug auf Aussagen der objektsprachlichen Ebene die Wahrheitswerte wahr und unwahr verwendet, jedoch in Bezug auf Aussagen der metasprachlichen Ebene die Wahrheitswerte gültig und ungültig. – Die Wahrheitsfeststellung [Die Schlussfolgerung (Aus A folgt B.) ist gültig.] ist eine Aussage auf der Sprachebene III. Denn bei der betreffenden Wahrheitsfeststellung handelt es sich um eine Aussage über eine bestimmte metasprachliche Aussage. Als Wahrheitswerte auf der Sprachebene III könnte man zutreffend und nicht zutreffend verwenden. Die Aussage [Die betreffende Wahrheitsfeststellung auf der Sprachebene III ist zutreffend.] ist eine Wahrheitsfeststellung auf der Sprachebene IV. Als Wahrheitswerte auf der Sprachebene IV könnte man richtig und unrichtig verwenden. Auf diese Weise kann man die Anzahl der Sprachebenen beliebig erhöhen, übrigens auch durch Feststellungen der echten Implikation, der echten Äquivalenz und des Widerspruchs. Die meisten Lehrsätze der Logik sind Aussagen auf der Sprachebene III. Soweit man die Lehrsätze der Logik auf objektsprachliche Aussagen anwendet, reichen vier Sprachebenen aus. Die Lehrsätze der Logik sind anwendbar unabhängig davon, auf welcher Sprachebene die betreffenden Aussagen jeweils formuliert worden sind. Denn welche Sprachebene jeweils vorliegt, ergibt sich allein aus dem logischen Gehalt der betreffenden Aussage. Der Satz über Sprachebenen: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus [A und B sind Aussagen auf verschiedenen Sprachebenen.], dass der inhaltliche Zusammenhang fehlt. – Nach dem Satz über den inhaltlichen Zusammenhang müssen also zwei bestimmte Aussagen derselben Sprachebene angehören, wenn die echte Äquivalenz respektive die echte Implikation respektive die Widerspruchsbeziehung vorliegt (siehe Kapitel 4).

Erster Kardinalfehler der formalen Logik: Es wird fälschlich behauptet, die Aussage (nicht A) sei echt äquivalent mit der Feststellung [A ist unwahr.]. – Die betreffende Äquivalenz kann nicht bestehen, weil aus der Aussage (nicht A) die Aussage [A ist unwahr.] nicht folgt. Wie bei der gewöhnlichen Aussage A können auch bei der Aussage (nicht A) zwei Wahrheitswerte auftreten. Außerdem stimmen die Sprachebenen nicht überein.

1. Fall: [Die Aussage (nicht A) ist wahr.] ist äquivalent mit [A ist unwahr.].
2. Fall: [Die Aussage (nicht A) ist unwahr.] ist äquivalent mit [A ist wahr.].

Die Feststellung  der  allgemeinen  echten  Implikation  { [(A B) und (nicht B)] (nicht A) } ist angeblich der Satz zum modus tollens (vergleiche Fritz Reinhardt und Heinrich Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik, München 1976, 2. Auflage, S. 16). Diese Feststellung ist ungültig, weil es Probleme gibt mit den Sprachebenen, allein schon bei der Konjunktion [(A B) und (nicht B)]. – Korrekt ist dagegen die Formulierung: Für alle gewöhnlichen Aussagen gilt die Schlussfolgerung {Aus [Die echte Implikation
(A B) ist gegeben. und B ist unwahr.] folgt [A ist unwahr.].}.

Beispiel dafür, (nicht A) und [A ist unwahr.] nicht äquivalent sind

A: In jedem Rechteck sind die Diagonalen gleich lang.
Die analytische Aussage A ist wahr und eine Aussage auf der objektsprachlichen Ebene.

(nicht A): Es gibt ein Rechteck, in welchem die Diagonalen nicht gleich lang sind.
Die Aussage (nicht A
) ist unwahr und ebenfalls eine Aussage auf der objektsprachlichen Ebene.

Die Feststellung [A ist unwahr.] bedeutet, dass eine ganz bestimmte Aussage, nämlich die Aussage A, unwahr ist. [A ist unwahr.] ist hier eine metasprachliche Aussage. Aus der objektsprachlichen Aussage (nicht A) folgt nicht die metasprachliche Aussage [A ist unwahr.]. Denn alle Implikationen einer bestimmten objektsprachlichen Aussage sind objektsprachliche Aussagen. Ebenso folgen aus der metasprachlichen Aussage [A ist unwahr.] ausschließlich metasprachliche Aussagen, also nicht die objektsprachliche Aussage (nicht A). Das Kriterium für die Äquivalenz ist nicht erfüllt. Also ist die Aussage (nicht A) nicht äquivalent mit [A ist unwahr.].

Zweiter Kardinalfehler der formalen Logik: Schon bei der Definition der materialen Implikation hat man es an der nötigen Sorgfalt fehlen lassen. Es wird fälschlich behauptet, für alle  gewöhnlichen  Aussagen sei  die  Schlussfolgerung  [wenn A, dann B]  echt äquivalent mit der Adjunktion [(nicht A) oder B]. Die echte Äquivalenz kann hier aber nicht gegeben sein, weil die Sprachebenen der Logik nicht übereinstimmen. – Die fehlerhafte Begriffsbildung ist genau der Punkt, an dem die Kritik des Philosophen Clarence Irving Lewis die formale Logik angreift (vergleiche den Artikel von C. I. Lewis, Implication and the algebra of logic, in der Zeitschrift „Mind“, Jahrgang 1912, S. 522 – 531).

Ein Gegenbeispiel

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
(nicht A): Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht nicht gelb.
Die Tatsachenbehauptung (nicht A) ist unwahr.
B: Jedes Rechteck besitzt einen Umkreis.
Die analytische Aussage B ist wahr.

Aus der Adjunktion [(nicht A) oder B] folgt nicht [wenn A, dann B]. Denn die Aussagen A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang und sind folglich voneinander unabhängig. Das  Kriterium  für  die
echte  Äquivalenz  ist nicht erfüllt. Also  ist  hier  [wenn A, dann B]  nicht echt äquivalent mit der Adjunktion [(nicht A) oder B]. Wegen des Gegenbeispiels ist die betreffende allgemeine echte Äquivalenz nicht gegeben. Die  Bezeichnung „materiale Implikation“ ist irreführend. Außerdem ist hier die Adjunktion [(nicht A) oder B] eine objektsprachliche Aussage. Aber die Schlussfolgerung [wenn A, dann B] ist eine metasprachliche Aussage.

Dritter Kardinalfehler der formalen Logik: Sehr oft übersieht man, dass die Einführung der materialen Implikation zur Definition der materialen Äquivalenz führt. Es wird fälschlich behauptet, für alle gewöhnlichen Aussagen sei die Feststellung [genau dann B, wenn A] echt äquivalent mit
{[(nicht A) oder B] und [(nicht B) oder A]}. – Auch hier stimmen die Sprachebenen der Logik nicht überein und man kann den betreffenden Lehrsatz der formalen Logik mit einem bestimmten Gegenbeispiel widerlegen. Die Bezeichnung „materiale Äquivalenz“ ist irreführend.

Ein Gegenbeispiel

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
(nicht A): Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht nicht gelb.
Die Tatsachenbehauptung (nicht A) ist unwahr.
B: Jedes Rechteck besitzt einen Umkreis.
Die analytische Aussage B ist wahr.
(nicht B): Es gibt ein Rechteck, welches keinen Umkreis besitzt.
Die analytische Aussage (nicht B) ist unwahr.

Aus der Konjunktion {[(nicht A) oder B] und [(nicht B) oder A]} folgt nicht [genau dann B, wenn A]. Denn die Aussagen A und B haben keinen inhaltlichen Zusammenhang und sind folglich voneinander unabhängig. Das Kriterium für die echte Äquivalenz ist nicht erfüllt. Also ist hier [genau dann B, wenn A] nicht echt äquivalent mit der Konjunktion {[(nicht A) oder B] und [(nicht B) oder A]}. Die betreffende allgemeine echte Äquivalenz wird hiermit mit einem Gegenbeispiel widerlegt. Außerdem ist die betreffende Konjunktion eine objektsprachliche Aussage. Aber die Feststellung der Äquivalenz [genau dann B, wenn A] ist eine metasprachliche Aussage.

Zwar unterscheidet man in der formalen Logik oft zwischen der materialen Implikation und der echten Implikation, aber eine Untersuchung des Unterschieds hält man nicht für nötig. Vierter Kardinalfehler der formalen Logik: Sehr oft wird sowohl für die materiale Implikation als auch für die echte Implikation im selben Buch dasselbe Sonderzeichen verwendet, nämlich das Sonderzeichen . Derselbe Fehler wird in Bezug auf die materiale Äquivalenz und die echte Äquivalenz gemacht beim Sonderzeichen . Ebenso wird der Wenn-dann-Satz sogar im selben Satz für mehrere Bedeutungen verwendet (siehe unten). Somit ist heute die Literatur über die Logik in den meisten Fällen absolut verdorben durch Verwechslung und Verwirrung. – Demgegenüber wird im vorliegenden Lehrbuch das Sonderzeichen ausschließlich für die echte Implikation (die entsprechende Teilmengenbeziehung der beiden logischen Gehalte) verwendet und ausschließlich für die echte Äquivalenz (die Gleichheit der beiden logischen Gehalte) das Sonderzeichen .

Beispiel für die Verwechslung von materialer und echter Implikation

Der nachstehende Pseudobeweis für den ungültigen Lehrsatz {Für alle gewöhnlichen Aussagen A folgt aus der kontradiktorischen Aussage [A und (nicht A)] jede beliebige gewöhnliche Aussage B.} belastet die formale Logik schwer. Ohne die formale Logik wäre weder der ungültige Lehrsatz noch der betreffende Pseudobeweis akzeptiert worden. Eine Widerlegung des betreffenden Lehrsatzes findet man in Kapitel 3.

Ein Pseudobeweis:

(1) Aus A folgt (A oder B).
Die Schlussfolgerung (1) ist gültig für alle gewöhnlichen Aussagen A und B und ist hier die Prämisse.

Aus (1) folgt (2): Aus (nicht A) folgt [(nicht A) oder B].
Die Schlussfolgerung [Aus (1) folgt (2).] ist gültig unter der Voraussetzung, dass (nicht A) eine gewöhnliche Aussage ist. Denn (nicht A) kann eine kontradiktorische Aussage sein.

Die Feststellung [(2) ist gültig.] ist echt äquivalent mit (3):
Aus [(nicht A) ist wahr.] folgt {[(nicht A) oder B] ist wahr.}.
Das ist eine Anwendung des Satzes über Wahrheitsfeststellungen.

(3) ist echt „äquivalent“ mit (4):
Aus [(nicht A) ist wahr.] „folgt“ {Die echte Implikation (A B) ist gegeben.}.
Die Feststellung der Äquivalenz ist hier unrichtig. Denn die materiale Implikation wird mit der echten Implikation verwechselt. Außerdem ist die allgemeine Schlussfolgerung (4) nicht zutreffend, weil A und B voneinander unabhängig sein können (siehe oben).

(5) Aus [(A B) ist gegeben.] folgt < {[A und (nicht A)] B} ist gegeben. >.
Die Schlussfolgerung (5) ist zutreffend für alle gewöhnlichen Aussagen A und B unter der Voraussetzung, dass auch (nicht A) eine gewöhnliche Aussage ist.

Aus [(4) und (5)] folgt (6): Aus [(nicht A) ist wahr.] „folgt“ < {[(A und (nicht A)] B} ist gegeben. >.
Die allgemeine Schlussfolgerung (6) ist nicht zutreffend, weil A und B voneinander unabhängig sein können (siehe oben). Die Aussage (6) auf der Sprachebene III ist hier die Konklusion.

Der betreffende Pseudobeweis musste erst einmal in eine kritisierbare Form gebracht werden. Dieser scheint suggestiv zu sein. Denn er enthält sogar mehrere Fehler, welche einem Logiker auffallen müssten, insbesondere die unzulässige Substitution von {Die Adjunktion [(nicht A) oder B] ist wahr.} durch {Die echte Implikation (A B) ist gegeben.}. Nicht einmal ist die Konklusion das, was hier bewiesen werden soll. – Übrigens gilt die heuristische Regel: Der Wahrheitsbeweis für einen bestimmten unwahren respektive ungültigen Lehrsatz muss fehlerhaft sein.

Fünfter Kardinalfehler der formalen Logik: Es wird fälschlich behauptet, wenn nur im Fall [A ist wahr. und B ist unwahr.] die echte Implikation (A B) unmöglich ist, dann sei diese in den anderen drei Fällen [A ist wahr. und B ist wahr.], [A ist unwahr. und B ist wahr.] und [A ist unwahr. und  B ist unwahr.] stets gegeben. – Aber es gibt Gegenbeispiele, nämlich bestimmte Paare wahrer Aussagen, wobei die beiden Aussagen voneinander unabhängig sind (ein konkretes Gegenbeispiel siehe oben). Also handelt es sich hier um einen Trugschluss: Die echte Implikation (A B) ist in den anderen drei Fällen nicht stets gegeben, sondern nur möglich (vergleiche die Tabelle zum logischen Zusammenhang oben).

Man könnte meinen, dass es bei der Ablehnung der formalen Logik um eine akademische Streitfrage von geringer Bedeutung geht. Doch die formale Logik zerrüttet die Logik total. Die beiden nachstehenden Beispiele zeigen die für die formale Logik typischen Ungereimtheiten. Es ist schon erstaunlich, wenn intelligente Leute, auch Logiker, beispielsweise die absurden Wenn-dann-Sätze der formalen Logik für verzeihlich halten.

Beispiele für den absurden Wenn-dann-Satz

(1) „5 ist genau dann eine Primzahl, wenn Stufenwinkel an Parallelen gleich groß sind.“ (Fritz Reinhardt und Heinrich Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik, München 1976, 2. Auflage, S. 14) – In der formalen Logik ist der [genau dann A, wenn B]-Satz vermeintlich wahr (gültig), weil die Aussagen A [Die 5 ist eine Primzahl.] und B [Stufenwinkel an Parallelen sind gleich groß.] beide wahr sind (siehe die Wahrheitstafel für die materiale Äquivalenz). Nur in der formalen Logik sind alle wahren Aussagen „äquivalent“. Ebenso sind nur in der formalen Logik alle unwahren Aussagen „äquivalent“. Nach Gottlob Freges eigener Auffassung sind alle wahren Aussagen „gleichbedeutend“. „Das Wahre“ würde von uns in den verschiedenen „Propositionen“ (Aussagen) in verschiedener Weise „analysiert“ werden, wobei „das Wahre“ der Name sei für „die gemeinsame Bedeutung“ aller wahren „Propositionen“ (gefunden im Vorwort des Logikers Kurt Gödel aus dem Jahr 1964 in der deutschen Ausgabe von 1984: Alfred North Whitehead und Bertrand Russel, Principia Mathematica, Band 1, S. VIII). Hier wurde offenbar der Logiker Gottlob Frege zum Mystiker. Entmystifiziert wird der betreffende Satz über „das Wahre“, indem man den analogen Satz über „das Unwahre“ formuliert. – Übrigens ist die Zahl 5 eine Primzahl, auch wenn Stufenwinkel an Parallelen nicht gleich groß wären.

(2) „Wenn 5 eine gerade Zahl ist, dann ist die Winkelsumme im ebenen Dreieck gleich 180 °.“ (Fritz Reinhardt und Heinrich Soeder, dtv-Atlas zur Mathematik, München 1976, 2. Auflage, S. 14) – In der formalen Logik ist der [wenn C, dann D]-Satz vermeintlich wahr (gültig), weil die Aussage C [Die 5 ist eine gerade Zahl.] unwahr ist und die Aussage D [Die Winkelsumme im ebenen Dreieck ist gleich 180 °.] wahr ist (siehe die entsprechende Wahrheitstafel für die materiale Implikation). Hier ist die formale Logik in sich widersprüchlich. Denn der betreffende Wenn-dann-Satz hat den logischen Status einer absurden Aussage (siehe Kapitel 3), besitzt also keinen Wahrheitswert. Wie bei (1) fehlt hier bei den betreffenden Aussagen der inhaltliche Zusammenhang, ohne den die Feststellung einer Implikation keinen Sinn macht.

Alfred Tarski hat sich mit den beiden nachstehenden universellen Gesetzen G 1 und G 2 näher befasst (vergleiche Alfred Tarski, Einführung in die mathematische Logik, Göttingen 1966, 2. neu bearbeitete Auflage, S. 44 f und S. 56). In der formalen Logik sind diese Lehrsätze vermeintlich allgemeingültig, wobei es auch hier Probleme mit den Sprachebenen gibt.

G 1: Wenn A wahr ist, dann ist der [Wenn B, dann A]-Satz wahr (gültig).
G 2: Wenn A unwahr ist, dann ist der [Wenn A, dann B]-Satz wahr (gültig).

Korrekterweise muss man G 1 respektive G 2 auch in der formalen Logik als Schlussfolgerung formulieren, wobei die beiden Wahrheitstafeln für die materiale Implikation angewandt werden (siehe oben). Und das Ergebnis dieser Reformulierung ist eine logische Banalität, nämlich nur eine Anwendung des Satzes über wahre Adjunktionen:

(1) Aus [A ist wahr.] folgt {[(nicht B) oder A] ist wahr.}.
(2) Aus [A ist unwahr.] folgt {[(nicht A) oder B)] ist wahr.}.

Aber in der klassischen Logik würde G 1 bedeuten, dass aus jeder beliebigen gewöhnlichen Aussage B jede wahre gewöhnliche Aussage A folgt. Diese allgemeine Schlussfolgerung wird durch zwei Klassen von Gegenbeispielen widerlegt: erstens zwei beliebige wahre gewöhnliche Aussagen A und B ohne inhaltlichen Zusammenhang und zweitens zwei beliebige wahre gewöhnliche Aussagen A und B mit inhaltlichem Zusammenhang, welche aber voneinander unabhängig sind. In der klassischen Logik würde G 2 bedeuten, dass aus jeder beliebigen unwahren gewöhnlichen Aussage A jede beliebige gewöhnliche Aussage B folgt. Diese allgemeine Schlussfolgerung wird ebenfalls durch zwei Klassen von Gegenbeispielen widerlegt: erstens zwei beliebige unwahre gewöhnliche Aussagen A und B ohne inhaltlichen Zusammenhang und zweitens zwei beliebige unwahre gewöhnliche Aussagen A und B mit inhaltlichem Zusammenhang, welche aber voneinander unabhängig sind. Übrigens auch Alfred Tarski hielt die beiden allgemeinen Schlussfolgerungen für ungültig.

Alfred Tarski hat versucht die formale Logik zu retten, indem er behauptete, die materiale Implikation sei nur „ein wahrer Konditionalsatz“ und keine Schlussfolgerung. Dass es sich bei der materialen Implikation um keine Schlussfolgerung handelt, ist zutreffend. Nicht akzeptabel ist aber die Formulierung „ein wahrer Konditionalsatz“, weil die Schlussfolgerung [Wenn A, dann B] nicht echt äquivalent ist mit der Adjunktion [(nicht A) oder B] (siehe oben). Tarski empfahl wegen der Probleme bei den universellen Gesetzen G 1 und G 2 auf die Sprechweise [Aus der Aussage A folgt die Aussage B.] generell zu verzichten, also auf Schlussfolgerungen überhaupt. Jedoch wird hier die Sache auf den Kopf gestellt. Statt die Probleme dem fehlerhaften System anzulasten, nämlich der formalen Logik, wird die klassische  Logik  aufgegeben, wenn auch halbherzig. Tarskis Rettungsversuch ist in sich widersprüchlich. Denn die formale Logik kommt als deduktives System ohne das logische Schließen nicht aus.

Auch der Logiker Rudolf Carnap hat die klassische Logik vorschnell aufgegeben. Schon in der 1. Auflage seines Hauptwerks „Der logische Aufbau der Welt“ von 1928 behauptete er zu unrecht, in der „alten Logik“ gäbe es Widersprüche, welche die „neue Logik“ (formale Logik) vermeiden würde. Er prophezeite eine hervorragende Bedeutung der formalen Logik für die gesamte Philosophie (vergleiche Rudolf Carnap, Der logische Aufbau der Welt, Studienausgabe, Hamburg 1998, S. XIII). Allerdings drängt sich die Frage auf, was man mit den Wenn-dann-Sätzen der formalen Logik in der Philosophie anfangen soll. Für den Beweis in der Mathematik ist die formale Logik nicht nur nutzlos, sondern sie führt auch zu Pseudobeweisen. Dennoch hat man die formale Logik weltweit an den Universitäten etablieren können. Sie gehört heute zum wissenschaftlichen Kanon der Mathematik und der Philosophie. Argumente gegen die formale Logik werden nur selten vorgebracht und in diesem Fall meistens nicht ernst genommen. Ein fehlerhaftes System wird man nicht so leicht wieder los (vergleiche die Ausführungen zu den Kohärenztheorien der Wahrheit in Kapitel 2).

Probleme gibt es bei der abstrakten Negation der Schlussfolgerung. Denn diese kann nicht als Wenn-dann-Satz formuliert werden. Demgegenüber ist die abstrakte Negation der Schlussfolgerung [Aus A folgt die Aussage B.] ein klarer Fall, nämlich [Aus A folgt nicht die Aussage B.]. Es war wohl keine gute Idee, die Logik mit Hilfe von Wenn-dann-Sätzen darzustellen. Das und die fehlende Unterscheidung der Sprachebenen waren Gründe für die Schwäche der Logik, als es im Jahr 1910 darum ging, die formale Logik als fehlerhaftes System zu entlarven. Man kam nicht einmal auf den naheliegenden Gedanken, ein Sonderzeichen für die Nicht-Implikation einzuführen: . Sinnvoll ist auch die Einführung eines Sonderzeichens für die Nicht-Äquivalenz: .  Beide Symbole braucht man bei der Behandlung des logischen Zusammenhangs, bei den Nachweismethoden im Rahmen deduktiver Systeme (siehe die Kapitel 4 und 7) und in den Beweisen für die Lehrsätze der Logik (siehe Anhang 3).

Beispiele für die Negation einer bestimmten Schlussfolgerung

A: Das Viereck CDEF ist ein Rechteck.
Mit dem Viereck CDEF ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint. Die Aussage A soll hier wahr sein.
B: Im Viereck CDEF sind die Diagonalen gleich lang.
Die Aussage B folgt aus der wahren Aussage A. Nach dem Satz zum modus ponens ist die Aussage B wahr.
(nicht B): Im Viereck CDEF sind die Diagonalen nicht gleich lang.
Die Aussage (nicht B) ist unwahr, weil die Aussage B wahr ist.

Die Schlussfolgerung (1) [Wenn A, dann B] ist echt äquivalent mit [Aus A folgt die Aussage B.]. Die Feststellung der echten Implikation (A B) ist gültig. Denn jedes Rechteck besitzt gleich lange Diagonalen.

Die Schlussfolgerung (2) [Wenn A, dann (nicht B)] ist eine konkrete Negation der Schussfolgerung (1). Die Schlussfolgerung (2) ist echt äquivalent mit [Aus A folgt die Aussage (nicht B).]. Die Feststellung der echten Implikation [(A (nicht B)] ist ungültig. Denn nach dem Satz über wahre Aussagen kann aus der wahren Aussage A nicht die unwahre Aussage (nicht B) folgen.

Die abstrakte Negation der Schlussfolgerung (1) ist (3) {nicht [Wenn A, dann B]}. (3) ist echt äquivalent mit [Aus A folgt nicht die Aussage B.]. Die Feststellung der Nicht-Implikation (A B) ist hier ungültig.