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Anhang 7

Anhang 7: Logik in aller Kürze

 

(1) Definitionen

 

1.1 Einen beschreibenden Satz nennt man Aussage.

1.2 Die Implikation (A B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B, dass der logische Gehalt von B vollständig im logischen Gehalt von A enthalten ist.

1.3 Eine Aussage, deren logischer Gehalt vollständig im logischen Gehalt der Aussage A enthalten ist, nennt man Implikation von A.

1.4 Der logische Gehalt der gehaltvollen Aussage A ist die Menge aller (Implikationen von A).

1.5 Die Äquivalenz (A  B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen AussagenA und B, dass die beiden Aussagen denselben logischen Gehalt haben.

1.6 Die Feststellung [Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.] bedeutet, dass A mit den betreffenden Tatsachen übereinstimmt.

1.7 Eine widerspruchsfreie Aussage, deren Implikationen alle jeweils einen bestimmten Wahrheitswert besitzen, nennt man gewöhnliche Aussage.

1.8 Eine Aussage, welche bezogen auf alle unendlich vielen charakteristischen Fälle respektive alle charakteristischen Fälle im Universum dasselbe behauptet, nennt man universelles Gesetz.

1.9 Die Feststellung einer bestimmten Implikation nennt man Schlussfolgerung: Aus A folgt B.

1.10 Nachvollziehbar bedeutet bei einer bestimmten Schlussfolgerung, dass diese gültig ist, weil ein bestimmtes wahres universelles Gesetze anwendbar ist oder eine bestimmte Schlussregel für einen Spezialfall.

1.11 Durch die Verknüpfung von mehreren gewöhnlichen Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des Bindeworts „und“ entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage, nämlich
(A und B und C). Diese nennt man die Konjunktion der betreffenden Aussagen.

1.12 Durch die Verknüpfung von mehreren gewöhnlichen Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des nicht ausschließenden Bindeworts „oder“ entsteht eine ganz bestimmte gewöhnliche Aussage, nämlich (A oder B oder C).
Diese nennt man die Adjunktion der betreffenden Aussagen.

1.13 Wird die gewöhnliche Aussage A verneint, ohne dass zusätzliche Information gegeben wird, so entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage, nämlich die Aussage (nicht A).
Diese nennt man die abstrakte Negation von A.

1.14 [Die gehaltvolle Aussage A widerspricht der gehaltvollen Aussage B.] bedeutet [Es gibt eine gewöhnliche Aussage C so, dass aus A die Aussage C folgt und außerdem aus B die Aussage (nicht C) folgt.].

1.15 Mit Ausnahme von (nicht A) sind alle Aussagen, welche der gewöhnlichen Aussage A widersprechen, konkrete Negationen von A.

(2) Das Axiomensystem der Logik bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

2.1 Das Axiom über wahre Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung
[A ist wahr.] äquivalent mit [Jede (Implikation von A) ist wahr.].

2.2 Das Axiom über den indirekten Beweis, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung [A ist wahr.] äquivalent mit
[Die Aussage (nicht A) ist unwahr.].

2.3 Das Axiom über Schlussfolgerungen, der Kontrapositionssatz:
Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Schlussfolgerung [Aus A folgt B.]
äquivalent mit [Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).].

2.4 Das Axiom über wahre Adjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist die Feststellung [Eine bestimmte Adjunktion ist wahr.] äquivalent mit
[Mindestens eine Komponente der betreffenden Adjunktion ist wahr.].

2.5 Das Axiom über wahre Konjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist die Feststellung [Eine bestimmte Konjunktion ist wahr.] äquivalent mit
[Jede Komponente der betreffenden Konjunktion ist wahr.].

(3) Lehrsätze der Logik, ab 3.13 bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

3.1 Der Satz über Sprachebenen: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus [A und B sind Aussagen auf verschiedenen Sprachebenen.] die Feststellung
[Bei A und B fehlt der inhaltliche Zusammenhang.].

3.2 Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus [A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.] die Feststellung
[Weder die Äquivalenz noch die Implikation noch die Widerspruchsbeziehung ist möglich.].

3.3 Das Kriterium für die Äquivalenz: Die Äquivalenz von zwei gehaltvollen Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A die Aussage B folgt und außerdem aus B die Aussage A folgt.

3.4 Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus
[A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C.] die Feststellung [A ist äquivalent mit C.].

3.5 Der Satz über Konjunktionen im logischen Gehalt: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung [Die Aussagen B und C sind (Implikationen von A).] äquivalent mit
[Die Konjunktion (B und C) ist eine (Implikation von A).].

3.6 Der Satz über die Abhängigkeit: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist A äquivalent mit der Konjunktion [A und eine beliebige (Implikation von A)] und eine bestimmte (Implikation von A) ist äquivalent mit der Adjunktion [A oder die betreffende (Implikation von A)].

3.7 Der Satz über die Negation: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus jeder konkreten Negation von A die Aussage (nicht A).

3.8 Der Satz von der doppelten Verneinung: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist A äquivalent mit der abstrakten Negation der Aussage (nicht A).

3.9 Der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen bedeutet die Feststellung [A ist äquivalent mit B.], dass die Aussage (nicht A) äquivalent ist mit der Aussage (nicht B).

3.10 Die Sätze von De Morgan: Für alle gewöhnlichen Aussagen gelten die Feststellungen der Äquivalenz:
[nicht  (A und B und C)] ist äquivalent mit [(nicht A)  oder  (nicht B)  oder  (nicht C)].
[nicht  (A oder B oder C)] ist äquivalent mit [(nicht A)  und  (nicht Bund  (nicht C)].

3.11 Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik: Für jeden Allsatz respektive Existenzsatz gelten
bezogen auf den jeweiligen Geltungsbereich die Feststellungen der Äquivalenz:
[nicht  (Alle x haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].
[nicht  (Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.].
[nicht  (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.].
[nicht  (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)] ist äquivalent mit
[Alle x haben die Eigenschaft Z.].

3.12 Der Satz über Allsätze: Aus einem bestimmten Allsatz folgt der entsprechende Allsatz bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive auf eine bestimmte Teilmenge.

3.13 Der Satz vom Kettenschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus der Feststellung
[(A B C) ist ein Kettenschluss.], dass die Schlussfolgerung [(A C) ist gegeben.] gültig ist.

3.14 Der Satz über den Zirkelschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen bedeutet die Feststellung [(A B C A) ist ein Zirkelschluss.], dass die Konjunktion
[A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C. und C ist äquivalent mit A.] gültig ist.

3.15 Der Satz zum modus ponens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus
[A ist wahr. und Die Implikation (A B) ist gegeben.] die Feststellung [B ist wahr.].

3.16 Der Satz zum modus tollens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus
[Die Implikation (A B) ist gegeben. und B ist unwahr.] die Feststellung [A ist unwahr.].

3.17 Der Satz über Wahrheitsfeststellungen: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist die Feststellung
{[Aus A folgt B.] ist gültig.} äquivalent mit der Schlussfolgerung
{Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].}.

3.18 Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt aus [A und B sind beide wahr.] die Feststellung [A ist vereinbar mit B.].

 

(4) Anwendung der Logik in den Wissenschaften

 

4.1 Gültige Schlussfolgerungen braucht man in der Mathematik, wenn man mit einem Beweis respektive mit einer Widerlegung Gewissheit erreichen will.

4.2 Im Rahmen der Naturwissenschaften hat die Skepsis eine methodologische Bedeutung: Bei der Überprüfung einer bestimmten Theorie suchen wir hauptsächlich nach einem Gegenbeispiel. Die Aussage über gegebene Anfangsbedingungen ist wahr. Die abgeleitete Prognose stellt sich aber als unwahr heraus. Das wäre aber sowohl nach dem Satz zum modus ponens als auch nach dem Satz zum modus tollens unmöglich. Der Fehler liegt in der Schlussfolgerung selbst. Es handelt sich um einen Trugschluss, weil die zugrunde liegende Theorie unwahr ist.

4.3 Manchmal ist die abschließende Klärung einer Frage möglich. In diesem Fall können die Logik und andere Gebiete der Mathematik viel zur Lösung des Problems beitragen.

4.4 Wenn eine Implikation einer bestimmten Behauptung einer anderen Implikation widerspricht, ist das ein Alarmsignal, dass hier etwas nicht stimmen kann.

4.5 In der Forschung ist es nützlich, den vollständigen Überblick über die Möglichkeiten zu haben bezüglich einer bestimmten Situation. Der vollständige Überblick ist die Grundlage für die Ausschluss-Methode und für Fallunterscheidungen. Bleiben Möglichkeiten unberücksichtigt, so führt das meistens zu einem Trugschluss.

4.6 Zur Überprüfung einer bestimmten Schlussfolgerung kann man den Kontrapositionssatz anwenden.

(5) Heuristische Regeln

 

5.1 Der logische Gehalt einer bestimmten (Implikation von A) kann nicht größer sein als der logische Gehalt der Aussage A.

5.2 Je mehr voneinander unabhängige gewöhnliche Aussagen verknüpft werden, umso größer ist der logische Gehalt der betreffenden Konjunktion.

5.3 Je größer der logische Gehalt der gewöhnlichen Aussage A ist, umso kleiner ist der logische Gehalt der Aussage (nicht A).

5.4 Eine einzige unwahre (Implikation von A) widerlegt die Aussage A.

5.5 Vom Gegenbeispiel dürfen wir auf die Unwahrheit des betreffenden universellen Gesetzes schließen.

5.6 Weder von der Vereinbarkeit noch von der Widerspruchsbeziehung bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen darf man auf den Wahrheitswert einer der beiden Aussagen schließen. Aber widersprechen sich zwei gewöhnliche Aussagen und ist außerdem die eine davon wahr, so ist die andere unwahr.

5.7 Jedem Kriterium muss eine bestimmte Äquivalenz zugrunde liegen.

5.8 Die Wörter „wahr“ und „glaubhaft“ darf man nicht verwechseln.

5.9 Der Wahrheitsbeweis für einen bestimmten unwahren Lehrsatz muss fehlerhaft sein.

5.10 Karl Raimund Popper: Man soll keine größere Präzision fordern, als für die betreffende Fragestellung nötig ist.