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Anhang 7

Anhang 7: Logik in aller Kürze

 

(1) Definitionen

 

1.1 Einen beschreibenden Satz nennt man eine Aussage.

1.2 Die Implikation (A ⇒ B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B, dass der logische Gehalt von B vollständig im logischen Gehalt von A enthalten ist.

1.3 Eine Aussage, deren logischer Gehalt vollständig im logischen Gehalt der Aussage A enthalten ist, nennt man eine (Implikation von A).

1.4 Der logische Gehalt der gehaltvollen Aussage A ist die Menge aller (Implikationen von A).

1.5 Die Äquivalenz (A ⇔ B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B,
dass die beiden Aussagen denselben logischen Gehalt haben.

1.6 Die Feststellung [Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.] bedeutet, dass die Aussage A
mit den betreffenden Tatsachen übereinstimmt.

1.7 Eine widerspruchsfreie Aussage, deren Implikationen alle jeweils einen bestimmten Wahrheitswert besitzen, nennt man eine gewöhnliche Aussage.

1.8 Eine gewöhnliche Aussage, welche allen betreffenden Gegenständen in einem bestimmten Geltungsbereich eine bestimmte Eigenschaft zuschreibt, nennt man Allsatz.

1.9 Bezieht sich ein bestimmter Allsatz auf das ganze Universum respektive auf eine unendliche Menge, so spricht man von einem universellen Gesetz.

1.10 Die Feststellung einer bestimmten Implikation nennt man eine Schlussfolgerung:
Aus A folgt B.

1.11  Nachvollziehbar bedeutet bei einer bestimmten Schlussfolgerung, dass diese gültig ist, weil ein bestimmtes wahres universelles Gesetze anwendbar ist
oder eine bestimmte Schlussregel für einen Spezialfall.

1.12 Die objektsprachliche Ebene (Sprachebene I) besitzt nur Aussagen über ein bestimmtes Objekt der realen Welt respektive über mehrere solcher Objekte oder über ein bestimmtes Erlebnis oder über eine bestimmte virtuelle Welt, aber keine logisch relevanten Aussagen über bestimmte Aussagen.

1.13 Die metasprachliche Ebene (Sprachebene II) besitzt nur logisch relevante Aussagen über eine bestimmte objektsprachliche Aussage respektive über mehrere objektsprachliche Aussagen.

1.14 Verknüpft man mehrere gewöhnliche Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des Bindeworts „und“, so entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage,
zum Beispiel (A und B und C). Diese nennt man die Konjunktion der betreffenden Aussagen.

1.15 Verknüpft man mehrere gewöhnliche Aussagen derselben Sprachebene mithilfe des nicht ausschließenden Bindeworts „oder“, so entsteht eine ganz bestimmte gewöhnliche Aussage, zum Beispiel (A oder B oder C). Diese nennt man die Adjunktion der betreffenden Aussagen.

1.16 Verneint man die gewöhnliche Aussage A, ohne dass eine zusätzliche Information gegeben wird, so entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage, nämlich die Aussage (nicht A). Diese nennt man die (abstrakte Negation von A).

1.17 [Die gehaltvolle Aussage A widerspricht der gehaltvollen Aussage B.] bedeutet
[Es gibt eine gewöhnliche Aussage C so, dass aus A die Aussage C folgt
und außerdem aus B die Aussage (nicht C) folgt.].

1.18 Mit Ausnahme von (nicht A) sind alle Aussagen, welche der gewöhnlichen Aussage A widersprechen, (konkrete Negation von A).

 

(2) Das Axiomensystem der Logik bezogen auf objektsprachliche Aussagen

Die Axiome gelten für alle gewöhnlichen Aussagen.

 

2.1 Das Axiom über wahre Aussagen:
[A ist wahr.] ist äquivalent mit der Feststellung [Jede (Implikation von A) ist wahr.].

2.2 Das Axiom über den indirekten Beweis, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
[A ist wahr.] ist äquivalent mit der Feststellung
[Die Aussage (nicht A) ist unwahr.].

2.3 Das Axiom über Schlussfolgerungen, der Kontrapositionssatz:
[Aus A folgt B.] ist äquivalent mit der Schlussfolgerung
[Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).].

2.4 Das Axiom über wahre Adjunktionen:
[Eine bestimmte Adjunktion ist wahr.] ist äquivalent mit der Feststellung
[Mindestens eine Komponente der betreffenden Adjunktion ist wahr.].

2.5 Das Axiom über wahre Konjunktionen:
[Eine bestimmte Konjunktion ist wahr.] ist äquivalent mit der Feststellung
[Jede Komponente der betreffenden Konjunktion ist wahr.].

 

(3) Lehrsätze der Logik, von 3.7 bis 3.10 bezogen auf objektsprachliche Aussagen

Die Lehrsätze 3.1 bis 3.16 gelten für alle gewöhnlichen Aussagen,
die Lehrsätze 3.11 bis 3.16 sogar für alle gehaltvollen Aussagen.
Die Lehrsätze 3.17 und 3.18 gelten für alle Allsätze respektive Existenzsätze.

 

3.1 Der Satz über Konjunktionen im logischen Gehalt:
[Die Aussagen B und C sind (Implikationen von A).] ist äquivalent mit der Feststellung
[Die Konjunktion (B und C) ist eine (Implikation von A).].

3.2 Der Satz über die Abhängigkeit: Die Aussage A ist äquivalent mit der Konjunktion
[A und eine beliebige (Implikation von A)] und eine bestimmte (Implikation von A) ist äquivalent
mit der Adjunktion [A oder die betreffende (Implikation von A)].

3.3 Der Satz über die Negation: Aus jeder beliebigen (konkreten Negation von A) folgt
die Aussage (nicht A).

3.4 Der Satz von der doppelten Verneinung: Die Aussage A ist äquivalent
mit der abstrakten Negation der Aussage (nicht A). – Der Lehrsatz ist nicht bewiesen für den Fall, dass die Aussage (nicht A) eine kontradiktorische Aussage ist.

3.5 Der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen:
{[A B] ist gegeben.} ist äquivalent mit {[(nicht A) (nicht B)] ist gegeben.}.

3.6 Die Sätze von De Morgan:
[ nicht (A und B und C)] ist äquivalent mit [(nicht A) oder (nicht B) oder (nicht C)].
[ nicht (A oder B oder C)] ist äquivalent mit [(nicht A) und (nicht B) und (nicht C)].

3.7 Der Satz zum modus ponens: Aus [A ist wahr. und Die Implikation
(A => B) ist gegeben.] folgt die Feststellung [B ist wahr.].

3.8 Der Satz zum modus tollens: Aus [Die Implikation (A => B) ist gegeben. und
B ist unwahr.] folgt die Feststellung [A ist unwahr.].

3.9 Der Satz über Wahrheitsfeststellungen: {[Aus A folgt B.] ist gültig.} ist äquivalent
mit der Schlussfolgerung {Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].}.

3.10 Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Aus der Feststellung
[A und B sind beide wahr.] folgt, dass A vereinbar ist mit der Aussage B.

3.11 Der Satz über Sprachebenen:
Aus [Die Aussagen A und B gehören zu verschiedenen Sprachebenen.] folgt die Feststellung
[A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.].

3.12 Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang:
Aus [A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.] folgt die Feststellung
[Weder die Äquivalenz noch die Implikation noch die Widerspruchsbeziehung ist möglich.].

3.13 Das Kriterium für die Äquivalenz:
Dass zwei gehaltvollen Aussagen A und B äquivalent sind, erkennt man daran,
dass aus A die Aussage B folgt und außerdem aus B die Aussage A folgt.

3.14 Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz: Aus [A ist äquivalent mit B. und
B ist äquivalent mit C.] folgt die Feststellung [A ist äquivalent mit C.].

3.15 Der Satz vom Kettenschluss: Aus der Feststellung [(A  => =>  C) ist ein Kettenschluss.]
folgt, dass die Schlussfolgerung [(A => C) ist gegeben.] gültig ist.

3.16 Der Satz über den Zirkelschluss:
Die Feststellung [(A  =>  B  =>  C  =>  A) ist ein Zirkelschluss.] ist äquivalent mit
{Die Feststellungen der Äquivalenz [(A B) ist gegeben.], [(B C) ist gegeben.] und
[(C A) ist gegeben.] sind alle gültig.}.

3.17 Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik: Bezogen auf einen bestimmten
Geltungsbereich gelten die nachstehenden Feststellungen der Äquivalenz.
[ nicht (Alle x haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit dem Existenzsatz
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].
[ nicht (Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit dem Existenzsatz
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.].
[ nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.)] ist äquivalent mit dem Allsatz
[Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.].
[ nicht (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)] ist äquivalent mit dem Allsatz
[Alle x haben die Eigenschaft Z.].

3.18 Der Satz über Allsätze: Aus einem bestimmten Allsatz folgt der entsprechende Allsatz
bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive auf eine bestimmte Teilmenge.

 

(4) Heuristische Regeln

 

4.1 Der logische Gehalt einer bestimmten (Implikation von A) kann nicht größer sein
als der logische Gehalt der Aussage A.

4.2 Mit jeder zusätzlichen Komponente, welche keine Implikation der anderen Komponenten ist,
wird der logische Gehalt der betreffenden Konjunktion größer.

4.3 Je größer der logische Gehalt der gewöhnlichen Aussage A ist, umso kleiner ist der logische Gehalt der Aussage (nicht A).

4.4 Eine einzige unwahre (Implikation von A) widerlegt die Aussage A.

4.5 Vom Gegenbeispiel dürfen wir auf die Unwahrheit des betreffenden universellen Gesetzes schließen.

4.6 Weder von der Vereinbarkeit noch von der Widerspruchsbeziehung bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen darf man auf den Wahrheitswert einer der beiden Aussagen schließen. Aber widersprechen sich zwei gewöhnliche Aussagen und ist außerdem die eine davon wahr, so ist die andere unwahr.

4.7 Jedem Kriterium muss eine bestimmte Äquivalenz zugrunde liegen.

4.8 Eine bestimmte Aussage kann glaubhaft sein, obwohl diese unwahr ist. Und eine bestimmte Aussage kann wahr sein, obwohl diese nicht glaubhaft ist.

4.9 Der Wahrheitsbeweis für einen bestimmten Lehrsatz mit einem negativen Wahrheitswert muss fehlerhaft sein.

4.10 Man soll keine größere Präzision fordern, als für die betreffende Fragestellung nötig ist (von Karl R. Popper).

4.11 Bei jeder Feststellung einer bestimmten Widerspruchsbeziehung respektive Implikation respektive Äquivalenz sollte man überprüfen, ob die Sprachebenen übereinstimmen.