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Anhang 7

Anhang 7: Logik in aller Kürze

 

(1) Definitionen

 

1.1 Einen beschreibenden Satz nennt man eine Aussage.

1.2 Die Implikation (A ⇒ B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B,
dass der logische Gehalt von B vollständig im logischen Gehalt von A enthalten ist.

1.3 Eine Aussage, deren logischer Gehalt vollständig im logischen Gehalt der Aussage A enthalten ist, nennt man eine (Implikation von A).

1.4 Der logische Gehalt der gehaltvollen Aussage A ist die Menge aller (Implikationen von A).

1.5 Die Äquivalenz (A ⇔ B) ist die relationale Eigenschaft der gehaltvollen Aussagen A und B,
dass die beiden Aussagen denselben logischen Gehalt haben.

1.6 Die Feststellung [Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.] bedeutet, dass die Aussage A
mit den betreffenden Tatsachen übereinstimmt.

1.7 Eine widerspruchsfreie Aussage, deren Implikationen alle jeweils einen
bestimmten Wahrheitswert besitzen, nennt man eine gewöhnliche Aussage.

1.8 Eine gewöhnliche Aussage, welche bezogen auf alle unendlich vielen charakteristischen Fälle
respektive alle charakteristischen Fälle im Universum dasselbe behauptet,
nennt man ein universelles Gesetz.

1.9 Die Feststellung einer bestimmten Implikation nennt man eine Schlussfolgerung:
Aus A folgt B.

1.10  Nachvollziehbar bedeutet bei einer bestimmten Schlussfolgerung,
dass diese gültig ist, weil ein bestimmtes wahres universelles Gesetze anwendbar ist
oder eine bestimmte Schlussregel für einen Spezialfall.

1.11 Verknüpft man mehrere gewöhnliche Aussagen derselben Sprachebene
mithilfe des Bindeworts „und“, so entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage,
zum Beispiel (A und B und C). Diese nennt man die Konjunktion der betreffenden Aussagen.

1.12 Verknüpft man mehrere gewöhnliche Aussagen derselben Sprachebene
mithilfe des nicht ausschließenden Bindeworts „oder“, so entsteht
eine ganz bestimmte gewöhnliche Aussage, zum Beispiel (A oder B oder C).
Diese nennt man die Adjunktion der betreffenden Aussagen.

1.13 Verneint man die gewöhnliche Aussage A, ohne dass zusätzliche Information gegeben
wird, so entsteht eine ganz bestimmte gehaltvolle Aussage, nämlich die Aussage (nicht A).
Diese nennt man die (abstrakte Negation von A).

1.14 [Die gehaltvolle Aussage A widerspricht der gehaltvollen Aussage B.] bedeutet
[Es gibt eine gewöhnliche Aussage C so, dass aus A die Aussage C folgt
und außerdem aus B die Aussage (nicht C) folgt.].

1.15 Mit Ausnahme von (nicht A) sind alle Aussagen,
welche der gewöhnlichen Aussage A widersprechen, (konkrete Negation von A).

1.16 Die objektsprachliche Ebene (Sprachebene I) besitzt nur Aussagen über
ein bestimmtes Objekt der realen Welt respektive über mehrere solcher Objekte oder
über ein bestimmtes Erlebnis oder über eine bestimmte virtuelle Welt,
aber keine logisch relevanten Aussagen über bestimmte Aussagen.

1.17 Die metasprachliche Ebene (Sprachebene II) besitzt nur logisch relevante Aussagen
über eine bestimmte objektsprachliche Aussage respektive
über mehrere objektsprachliche Aussagen.

 

(2) Das Axiomensystem der Logik bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

2.1 Das Axiom über wahre Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist
[A ist wahr.] äquivalent mit der Feststellung [Jede (Implikation von A) ist wahr.].

2.2 Das Axiom über den indirekten Beweis, der Satz vom ausgeschlossenen Dritten:
Für alle gewöhnlichen Aussagen ist [A ist wahr.] äquivalent mit der Feststellung
[Die Aussage (nicht A) ist unwahr.].

2.3 Das Axiom über Schlussfolgerungen, der Kontrapositionssatz:
Für alle gewöhnlichen Aussagen ist [Aus A folgt B.] äquivalent mit der Schlussfolgerung
[Aus der Aussage (nicht B) folgt die Aussage (nicht A).].

2.4 Das Axiom über wahre Adjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist [Eine bestimmte Adjunktion ist wahr.] äquivalent mit der Feststellung
[Mindestens eine Komponente der betreffenden Adjunktion ist wahr.].

2.5 Das Axiom über wahre Konjunktionen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist [Eine bestimmte Konjunktion ist wahr.] äquivalent mit der Feststellung
[Jede Komponente der betreffenden Konjunktion ist wahr.].

 

(3) Lehrsätze der Logik, ab 3.13 bezogen auf objektsprachliche Aussagen

 

3.1 Der Satz über Sprachebenen: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt
aus [Die Aussagen A und B gehören zu verschiedenen Sprachebenen.] die Feststellung
[A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.].

3.2 Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt
aus [A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.] die Feststellung
[Weder die Äquivalenz noch die Implikation noch die Widerspruchsbeziehung ist möglich.].

3.3 Das Kriterium für die Äquivalenz: Die Äquivalenz von zwei gehaltvollen Aussagen A und B
erkennt man daran, dass aus A die Aussage B folgt und außerdem aus B die Aussage A folgt.

3.4 Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt
aus [A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C.] die Feststellung [A ist äquivalent mit C.].

3.5 Der Satz über Konjunktionen im logischen Gehalt: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist [Die Aussagen B und C sind (Implikationen von A).] äquivalentmit der Feststellung
[Die Konjunktion (B und C) ist eine (Implikation von A).].

3.6 Der Satz über die Abhängigkeit: Für alle gewöhnlichen Aussagen ist A äquivalent mit
der Konjunktion [A und eine beliebige (Implikation von A)] und
eine bestimmte (Implikation von A) ist äquivalent mit
der Adjunktion [A oder die betreffende (Implikation von A)].

3.7 Der Satz über die Negation: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt
aus jeder beliebigen (konkreten Negation von A) die Aussage (nicht A).

3.8 Der Satz von der doppelten Verneinung: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist A äquivalent mit der abstrakten Negation der Aussage (nicht A).

3.9 Der Satz über die Negation äquivalenter Aussagen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
bedeutet die Feststellung [A ist äquivalent mit B.],
dass die Aussage (nicht A) äquivalent ist mit der Aussage (nicht B).

3.10 Die Sätze von De Morgan: Für alle gewöhnlichen Aussagen
gelten die Feststellungen der Äquivalenz:
[nicht  (A und B und C)] ist äquivalent mit [(nicht A) oder (nicht B) oder (nicht C)].
[nicht  (A oder B oder C)] ist äquivalent mit [(nicht A) und (nicht B) und (nicht C)].

3.11 Die vier Verneinungssätze der Prädikatenlogik: Für jeden Allsatz respektive Existenzsatz
gelten bezogen auf den jeweiligen Geltungsbereich die Feststellungen der Äquivalenz:
[ nicht  (Alle x haben die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit dem Existenzsatz
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.].
[ nicht  (Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.)] ist äquivalent mit dem Existenzsatz
[Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.].
[ nicht  (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z hat.)] ist äquivalent mit dem Allsatz
[Alle x haben nicht die Eigenschaft Z.].
[ nicht  (Es gibt ein x, welches die Eigenschaft Z nicht hat.)] ist äquivalent mit dem Allsatz
[Alle x haben die Eigenschaft Z.].

3.12 Der Satz über Allsätze: Für jeden beliebigen Allsatz folgt aus einem bestimmten Allsatz
der entsprechende Allsatz bezogen auf ein bestimmtes Teilgebiet respektive
auf eine bestimmte Teilmenge.

3.13 Der Satz vom Kettenschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen folgt aus der Feststellung
[(A => B => C) ist ein Kettenschluss.], dass die Schlussfolgerung [(A ⇒ C) ist gegeben.] gültig ist.

3.14 Der Satz über den Zirkelschluss: Für alle gehaltvollen Aussagen
bedeutet die Feststellung [(A => B => C => A) ist ein Zirkelschluss.], dass die Konjunktion
[A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C. und C ist äquivalent mit A.] gültig ist.

3.15 Der Satz zum modus ponens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt
aus [A ist wahr. und Die Implikation (A ⇒ B) ist gegeben.] die Feststellung [B ist wahr.].

3.16 Der Satz zum modus tollens: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt
aus [Die Implikation (A ⇒ B) ist gegeben. und B ist unwahr.] die Feststellung [A ist unwahr.].

3.17 Der Satz über Wahrheitsfeststellungen: Für alle gewöhnlichen Aussagen
ist die Feststellung {[Aus A folgt B.] ist gültig.} äquivalent mit
der Schlussfolgerung {Aus [A ist wahr.] folgt [B ist wahr.].}.

3.18 Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch: Für alle gewöhnlichen Aussagen folgt
aus aus der Feststellung [A und B sind beide wahr.], dass A vereinbar ist mit der Aussage B.

 

(4) Heuristische Regeln

 

4.1 Der logische Gehalt einer bestimmten (Implikation von A) kann nicht größer sein
als der logische Gehalt der Aussage A.

4.2 Mit jeder zusätzlichen Komponente, welche keine Implikation der anderen Komponenten ist,
wird der logische Gehalt der betreffenden Konjunktion größer.

4.3 Je größer der logische Gehalt der gewöhnlichen Aussage A ist,
umso kleiner ist der logische Gehalt der Aussage (nicht A).

4.4 Eine einzige unwahre (Implikation von A) widerlegt die Aussage A.

4.5 Vom Gegenbeispiel dürfen wir auf die Unwahrheit
des betreffenden universellen Gesetzes schließen.

4.6 Weder von der Vereinbarkeit noch von der Widerspruchsbeziehung
bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen darf man auf den Wahrheitswert
einer der beiden Aussagen schließen.
Aber widersprechen sich zwei gewöhnliche Aussagen
und ist außerdem die eine davon wahr, so ist die andere unwahr.

4.7 Jedem Kriterium muss eine bestimmte Äquivalenz zugrunde liegen.

4.8 Eine bestimmte Aussage kann glaubhaft sein, obwohl diese unwahr ist.
Und eine bestimmte Aussage kann wahr sein, obwohl diese nicht glaubhaft ist.

4.9 Der Wahrheitsbeweis für einen bestimmten Lehrsatz
mit einem negativen Wahrheitswert
 muss fehlerhaft sein.

4.10 Man soll keine größere Präzision fordern,
als für die betreffende Fragestellung nötig ist (von Karl R. Popper).

4.11 Bei jeder Feststellung einer bestimmten Widerspruchsbeziehung respektive Implikation
respektive Äquivalenz sollte man überprüfen, ob die Sprachebenen übereinstimmen.