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Kapitel 4

 

Wir müssen oft unterscheiden.
Denn Verwirrungen oder auch nur das Fehlen von Unterscheidungen
hindern uns daran, unsere Probleme zu lösen.

Karl R. Popper, Die Welt des Parmenides, S. 66

4. Der logische Zusammenhang

Definition: Zwei gehaltvolle Aussagen A und B können einen inhaltlichen Zusammenhang haben. Das bedeutet, dass beide Aussagen Informationen über denselben Gegenstand geben. – In diesem Fall wiederholen sich die betreffenden Aussagen oder sie ergänzen sich. Die Wiederholung muss nicht vollständig sein. Nur bei der Ergänzung kann ein Widerspruch auftreten. Ohne einen inhaltlichen Zusammenhang sind die gehaltvollen Aussagen A und B also voneinander unabhängig und miteinander vereinbar. Definition und das Kriterium für die Unabhängigkeit: Die Unabhängigkeit der gehaltvollen Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A nicht die Aussage B folgt und außerdem aus B nicht die Aussage A folgt. – Die Feststellungen (1) bist (5) gelten für alle gehaltvollen Aussagen:

(1) Der Satz über Sprachebenen:

Aus [A und B sind Aussagen auf verschiedenen Sprachebenen.] folgt
[A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.].

(2) Der Satz über den inhaltlichen Zusammenhang:

Aus [A hat keinen inhaltlichen Zusammenhang mit B.] folgt
[Weder die Äquivalenz noch die Implikation noch die Widerspruchsbeziehung ist möglich.].

(3) Die Symmetrie des inhaltlichen Zusammenhangs:

[A hat einen inhaltlichen Zusammenhang mit B.] ist äquivalent mit
[B hat einen inhaltlichen Zusammenhang mit A.].

(4) Die Symmetrie der Unabhängigkeit:

[A ist unabhängig von B.] ist äquivalent mit
[B ist unabhängig von A.].

(5) Die Symmetrie der Vereinbarkeit:

[A ist vereinbar mit B.] ist äquivalent mit
[B ist vereinbar mit A.].

Beispiel für zwei Aussagen ohne inhaltlichen Zusammenhang

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Jedes Rechteck besitzt einen Inkreis.
Die analytische Aussage B ist unwahr.

Bei den Aussagen A und B fehlt der inhaltliche Zusammenhang. Die beiden Aussagen sind miteinander vereinbar, obwohl die Aussage B unwahr ist. Außerdem sind die beiden Aussagen voneinander unabhängig.

Die Definition der Widerspruchsbesziehung beruht auf der Schlussfolgerung und führt zum Kriterium für den Widerspruch. Dass die gehaltvolle Aussage A der gehaltvollen Aussage B widerspricht, erkennt man daran: Es gibt eine gewöhnliche Aussage C so, dass aus A die Aussage C folgt und außerdem aus B die Aussage (nicht C) folgt. – Es gibt Signalwörter, die vor dem Widerspruch warnen: dagegen, dementgegen, entweder / oder, im Gegenteil, nicht, paradox, sondern, vielmehr. Es gibt auch Signalwörter, die darauf hinweisen, dass möglicherweise der Widerspruch vorliegt: aber, allerdings, demgegenüber, dennoch, doch, freilich, gleichwohl, hingegen, immerhin, jedoch, obgleich, obschon, obwohl, selbst wenn, trotz, trotzdem, wenn auch, wenngleich, zwar. – Ist bei zwei bestimmten gewöhnlichen Aussagen die Widerspruchsbeziehung gegeben, so ist zwar ein inhaltlicher Zusammenhang gegeben, aber die einseitige Implikation und die Äquivalenz sind nicht möglich. Ist dagegen E eine Implikation der kontradiktorischen Aussage D, so können bei den Aussagen D und E die einseitige Implikation und der Widerspruch zugleich gegeben sein. Die Feststellungen (1) und (2) gelten für alle gewöhnlichen Aussagen, bei (3) bis (5) bezogen auf die objektsprachliche Ebene:

(1) Die Symmetrie der Widerspruchsbeziehung:

[A widerspricht der Aussage B.] ist äquivalent mit
[B widerspricht der Aussage A.]

(2) Dieselbe Sprachebene:

Aus [A widerspricht der Aussage B.] folgt
[A und B haben dieselbe Sprachebene.].

(3) Der Satz vom ausgeschlossenen Widerspruch:

Aus [A und B sind beide wahr.] folgt
[A und B sind miteinander vereinbar.].

(4) Nach dem Kontrapositionssatz ist (3) äquivalent mit der nachstehenden Version:

Aus [A widerspricht der Aussage B.] folgt
[A und B sind nicht beide wahr.].

Aus [A und B sind nicht beide wahr.] folgt, dass A und B beide unwahr sein können. 

(5) Anwendung des Satzes vom ausgeschlossenen Widerspruch:

Aus [A widerspricht der Aussage B. und A ist wahr.] folgt
[B ist unwahr.].

Beispiel für die Widerspruchsbeziehung

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
Die analytische Aussage E soll hier wahr sein.
F: Im Viereck ABCD sind die Diagonalen nicht gleich lang.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint. Die Aussage F ist hier unwahr.

Nachweis für den Widerspruch:

Aus der Aussage E folgt die Aussage G [Die Diagonalen im Viereck ABCD sind gleich lang.]. Die Aussage F ist äquivalent mit der Aussage (nicht G). Also folgt aus F die Aussage (nicht G).
Das Kriterium für den Widerspruch ist erfüllt.

Nachweis für die Unabhängigkeit:

Die singulären Aussagen E und F sind gewöhnliche Aussagen. Beide Aussagen sind also widerspruchsfrei. Folglich sind alle (Implikationen von E) miteinander vereinbar. Ebenso sind alle (Implikationen von F) miteinander vereinbar. E ist eine (Implikation von E), ebenso F eine (Implikation von F). Da aber E der Aussage F widerspricht, folgt weder aus E die Aussage F noch folgt aus F die Aussage E.
Das Kriterium für die Unabhängigkeit ist erfüllt.

Beispiel für eine Widerlegung mithilfe einer wahren Aussage

A: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht gelb.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Die Rose „Lady Hillingdon“ blüht rot.

Aus [A widerspricht der Aussage B. und A ist wahr.] folgt
[Die Aussage B ist unwahr.].

Definition: Die relationale Eigenschaft von zwei gehaltvollen Aussagen A und B, dass diese denselben logischen Gehalt haben, nennt man Äquivalenz. – Für diese Eigenschaft schreibt man kurz (A B). Zwei bestimmte Aussagen, bei welchen die Äquivalenz gegeben ist (äquivalente Aussagen, gleichbedeutende Aussagen), unterscheiden sich lediglich durch ihre Form, soweit die beiden Aussagen nicht identisch sind. Also haben zwei bestimmte äquivalente Aussagen denselben logischen Status, insbesondere dieselbe Sprachebene und denselben Wahrheitswert, soweit ein solcher gegeben ist.  – Die große Bedeutung der Äquivalenz für die Logik ist in der Alltagssprache noch nicht angekommen. Für die Äquivalenz gibt es kaum Signalwörter. In Frage kämen die folgenden Wörter: bedeutet, Definition, genau dann / wenn, gleichbedeutend, Kriterium, mit anderen Worten, Zirkelschluss (siehe unten). Eine Fehlerquelle in der Logik ist die fälschlich behauptete Äquivalenz. Das Kriterium für die Äquivalenz beruht auf der Schlussfolgerung: Die Äquivalenz der Aussagen A und B erkennt man daran, dass aus A die Aussage B folgt und außerdem aus B die Aussage A folgt. – Die Feststellungen (1) bis (4) gelten für alle gehaltvollen Aussagen A, B und C:

(1) Mit der Eigenschaft der Äquivalenz behaupten wir wesentlich mehr als mit der Eigenschaft der Implikation:

Aus [(A B) ist gegeben.] folgt
[(A B) ist gegeben.].

Aus [(A B) ist gegeben.] folgt nicht
[(A B) ist gegeben.].

(2) Die Reflexivität der Äquivalenz:

Die Aussage A ist äquivalent mit der Aussage A.

(3) Die Symmetrie der Äquivalenz:

[(A B) ist gegeben.] ist äquivalent mit
[(B A) ist gegeben.].

Eine antiquierte Version:
[Genau dann A, wenn B.] ist äquivalent mit [Genau dann B, wenn A.].

(4) Der Satz über die Transitivität der Äquivalenz:

Aus [(A B) ist gegeben. und (B C) ist gegeben.] folgt
[(A C) ist gegeben.].

(5) Anwendung des Satzes über die Transitivität der Äquivalenz:

Aus [(A B) ist gegeben. und (A C) ist gegeben.] folgt
[(B C) ist gegeben.].

Beispiel für zwei Aussagen, welche äquivalent sind

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
G: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

 

Nachweis für die Äquivalenz durch Anwendung von
acht wahren universellen Gesetzen der euklidischen Elementargeometrie
und mithilfe des Satzes vom Kettenschluss, des Kriteriums für die Äquivalenz
und des Satzes über Konjunktionen im logischen Gehalt (siehe Kapitel 5):

(1)                                                     Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.

Aus (1) folgt (2):                              Die Seiten b und d sind gleich lang.

Aus [(2) und Die beiden Diagonalen sind gleich lang.  und  Die Seite a ist eine gemeinsame Seite der Dreiecke ABC und ABD.]
folgt (3):                                           Die Dreiecke ABC und ABD sind kongruent (siehe Kapitel 1).

Aus (3) folgt (4):                              Die Winkel bei A und bei B sind gleich groß.

Aus (1) folgt (5):                              die Summe der Innenwinkel bei A und bei B  =  180 °

Aus [(4) und (5)] folgt (6):               Die Innenwinkel bei A und bei B sind beide rechte Winkel.

[(1) und (6)] ist äquivalent mit (7): Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.

Der Nachweis für Implikation (G E) ist somit erbracht.

(7)                                                     Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.

Aus (7) folgt (8):                              Die Seiten a und c verlaufen parallel und ebenso die Seiten b und d.

Aus (8) folgt (9):                              Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm.

Aus (9) folgt (10):                            Die gegenüberliegenden Seiten b und d sind gleich lang.

Aus (7) folgt (11):                            Die Innenwinkel bei A bei B sind beide rechte Winkel.

Aus [(10) und (11)  und  Die Seite a ist eine gemeinsame Seite der Dreiecke ABC und ABD.]
folgt (12):                                         Die Dreiecke ABC und ABD sind kongruent.

Aus (12) folgt (13):                          Die Diagonalen im Viereck ABCD sind gleich lang.

[(9) und (13)] ist äquivalent
mit (1):                                             Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.

Der Nachweis für die Implikation (E G) ist somit erbracht.
Bei den singulären Aussagen E und G ist das Kriterium für die Äquivalenz erfüllt. Das Viereck ABCD ist ein Modell für alle Rechtecke. Also gilt der obige Nachweis der Äquivalenz für alle Rechtecke.

 

Beispiel für zwei Aussagen, welche nicht äquivalent sind

A: Das Viereck RSTU ist ein Rechteck.
Mit dem Viereck RSTU ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint. Die analytische Aussage A ist hier unwahr (siehe unten).
B: Im Viereck RSTU sind die Diagonalen gleich lang.
Die analytische Aussage B ist hier wahr.

Nachweis für die Nicht-Äquivalenz:

Aus A folgt die Aussage B. Aber aus B folgt nicht die Aussage A. Denn aus der wahren Aussage B kann nicht die unwahre Aussage A folgen. Also ist bei den singulären Aussagen A und B das Kriterium für die Äquivalenz nicht erfüllt. Die Aussagen A und B sind zwar voneinander abhängig, aber nicht äquivalent (die einseitige Implikation siehe unten).

Obwohl die Diagonalen im Viereck RSTU gleich lang sind, ist das Viereck RSTU kein Rechteck.

 

Definition: Einen Kettenschluss, an dessen Anfang und Ende dieselbe gehaltvolle Aussage steht, nennt man Zirkelschluss. – Der Zirkelschluss kann in linearer Form oder in kreisförmiger Form dargestellt werden:

A B C D A

Man beachte, dass im Zirkelschluss alle Schlussfolgerungen gültig sind wie beim Kettenschluss! Der Zirkelschluss erfüllt das Kriterium für die Äquivalenz: Sowohl in der linearen Form als auch in der kreisförmigen Form kann man den Zirkelschluss mit mehr als zwei Komponenten in zwei Abschnitte unterteilen. Durch Anwendung des Satzes vom Kettenschluss wird die Äquivalenz der gehaltvollen Aussagen A, B, C und D nachgewiesen.

[Aus A folgt B. und Aus B folgt A.] ist äquivalent mit
[(A B) ist gegeben.].
[Aus A folgt C. und Aus C folgt A.] ist äquivalent mit
[(A C) ist gegeben.].
[Aus A folgt D. und Aus D folgt A.] ist äquivalent mit
[(A D) ist gegeben.].

In der kreisförmigen Form gilt zusätzlich:

[Aus B folgt C. und Aus C folgt B.] ist äquivalent mit
[(B C) ist gegeben.].
[Aus B folgt D. und Aus D folgt B.] ist äquivalent mit
[(B D) ist gegeben.].
[Aus C folgt D. und Aus D folgt C.] ist äquivalent mit
[(C D) ist gegeben.].

Auch im Zirkelschluss mit nur zwei Aussagen als Komponenten ist das Kriterium für die Äquivalenz erfüllt: [Aus A folgt B. und Aus B folgt A.]

 

Für alle gehaltvollen Aussagen der objektsprachlichen Ebene gilt der Satz über den Zirkelschluss:

[(A B C A) ist ein Zirkelschluss.] bedeutet
{[A ist äquivalent mit B. und B ist äquivalent mit C. und C ist äquivalent mit A.] ist gültig.}.

Aus mehreren äquivalenten Aussagen – auch mehr als drei Aussagen – darf man also einen Zirkelschluss konstruieren. Dabei dürfen die Positionen im Zirkelschluss beliebig vertauscht werden. Man darf sogar die Deduktionsrichtung umkehren. – Allerdings wäre es ein logischer Fehler, einen bestimmten Zirkelschluss als Wahrheitsbeweis für eine der betreffenden Aussagen auszugeben. Für einen direkten Beweis braucht man neben den nachvollziehbaren Schlussfolgerungen mindestens eine Prämisse, also eine Aussage, deren Wahrheit verbürgt ist.

Beispiel für den Zirkelschluss

E: Das Viereck ABCD ist ein Rechteck.
F: Im Viereck ABCD gilt die Formel: Flächeninhalt  =  a · b
G: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit gleich langen Diagonalen.
H: Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm mit Umkreis.
Mit dem Viereck ABCD ist hier ein ganz bestimmtes Viereck gemeint.

Die Schlussfolgerungen im nachstehenden Zirkelschluss sind alle gültig.

Die Feststellung [(E F G H E) ist ein Zirkelschluss.] bedeutet, dass die sechs Feststellungen der Äquivalenz gültig sind:

(E F) ist gegeben.
(E  G) ist gegeben.
(E  H) ist gegeben.
(F G) ist gegeben.
(F H) ist gegeben.
(G H) ist gegeben.

Für den Nachweis der Wahrheit der singulären Aussage E benötigt man zusätzlich eine Prämisse. Will man beispielsweise G als Prämisse verwenden, so muss die singuläre Aussage G nachweislich wahr sein.

Definition: Die relationale Eigenschaft von zwei gehaltvollen Aussagen A und B, dass die Implikation nur in einer Richtung gegeben ist, nennt man einseitige Implikation. – Es gibt also die einseitige Implikation der ersten Art [Aus A folgt die Aussage B. und Aus B folgt nicht die Aussage A.]. Und es gibt die einseitige Implikation der zweiten Art [Aus A folgt nicht die Aussage B. und Aus B folgt die Aussage A.]. Auf keinen Fall darf man hier die Deduktionsrichtung umkehren. Eine solche Vorgehensweise würde zu einem Trugschluss führen. Bei der einseitigen Implikation muss ein inhaltlicher Zusammenhang gegeben sein. Deshalb müssen bei der einseitigen Implikation beide Aussagen derselben Sprachebene angehören. Außerdem ist im Fall der einseitigen Implikation die Widerspruchsbeziehung unmöglich, soweit es sich um widerspruchsfreie Aussagen handelt. Die nachstehenden Feststellungen (1) bis (6) gelten für alle gewöhnlichen Aussagen:

(1) Die Reflexivität der Implikation:

Aus der Aussage A folgt
die Aussage A.

(2) Die Asymmetrie der Implikation und der Nicht-Implikation:

Aus [Die Implikation (A B) ist gegeben.] folgt nicht
[Die Implikation (B A) ist gegeben.].

Aus [Die Nicht-Implikation (A B) ist gegeben.] folgt nicht
[Die Nicht-Implikation (B A) ist gegeben.].

(3) Die Transitivität der Implikation:

Aus [(A B) ist gegeben. und (B C) ist gegeben.] folgt
[(A C) ist gegeben.].

(4) Dieselbe Sprachebene:

Aus [(A B) ist gegeben.] folgt
[A und B haben dieselbe Sprachebene.].

(5) Der Ausschluss des Widerspruchs:

Aus [(A B) ist gegeben.] folgt
[A und B sind miteinander vereinbar].

(6) Der Ausschluss der Implikation:

Aus [A widerspricht der Aussage B.] folgt
[A ist unabhängig von der Aussage B.].

(7) Warnung vor einem Trugschluss:

Aus [(A B) ist gegeben. und (A C) ist gegeben.] folgt nicht
[(B C) ist gegeben.].

Aus [(A B) ist gegeben. und (A C) ist gegeben.] folgt nicht
[(C B) ist gegeben.].

Beispiel für die einseitige Implikation

A: Fritz Meier hat bei der Ausspielung am 18.11.2006 im Lotto gewonnen.
B: [Fritz Meier hat bezüglich der Lotto-Ziehung am 18.11.2006 einen Tipp abgegeben. oder
Fritz Meier ist hier am Gewinn einer anderen Person beteiligt.]

Nachweis für die Vereinbarkeit:

Die Tatsachenbehauptung A besitzt den logischen Status einer gewöhnlichen Aussage. Daraus folgt, dass alle Implikationen von A miteinander vereinbar sind. Die Aussagen A und B sind Implikationen von A. Also sind die Aussagen A und B miteinander vereinbar.

Aus der Tatsachenbehauptung A folgt die Aussage B. Die Umkehrung der Deduktionsrichtung ist hier nicht erlaubt. Zum größten Bedauern des Spielers* folgt aus B nicht die Aussage A.

Bei zwei gehaltvollen Aussagen A und B ist der logische Zusammenhang immer objektiv gegeben und unveränderlich.  Es handelt sich jeweils um eine bestimmte relationale Eigenschaft der betreffenden Aussagen. Haben zwei bestimmte gewöhnliche Aussagen einen inhaltlichen Zusammenhang, so gibt es beim logischen Zusammenhang nur sechs Möglichkeiten. Diese schließen sich gegenseitig aus:

(1) Bei A und B ist die Äquivalenz gegeben. Das bedeutet:
[Aus A folgt die Aussage B.  und  Aus B folgt die Aussage A.]

(2) Bei A und B ist die einseitige Implikation der ersten Art gegeben. Das bedeutet:
[Aus A folgt die Aussage B.  und  Aus B folgt nicht die Aussage A.]

(3) Bei A und B ist die einseitige Implikation der zweiten Art gegeben. Das bedeutet:
[Aus A folgt nicht die Aussage B.  und  Aus B folgt die Aussage A.]

(4) Die Unabhängigkeit der ersten Art ist gegeben, nämlich  [entweder A oder B].
Das bedeutet für Aussagen der objektsprachlichen Ebene:
[A widerspricht der Aussage B.  und  Eine der beiden Aussagen ist wahr.]

Definition: Die Widerspruchsbeziehung mit Wahrheitsgarantie nennt man Kontravalenz (siehe Kapitel 5).

(5) Bei A und B ist die Unabhängigkeit der zweiten Art gegeben, nämlich
die Widerspruchsbeziehung ohne Wahrheitsgarantie.
Das bedeutet für Aussagen der objektsprachlichen Ebene:
[A widerspricht der Aussage B.  und  Beide Aussagen können unwahr sein.]

(6) Bei A und B ist die Unabhängigkeit der dritten Art gegeben,
nämlich die Unabhängigkeit ohne Widerspruch. Das bedeutet:
[A und B sind voneinander unabhängigund  A und B sind miteinander vereinbar.]

 

Beispiel für die Unabhängigkeit ohne Widerspruch

A: Paris ist die Hauptstadt von Frankreich.
Die Tatsachenbehauptung A ist wahr.
B: Im 20. Jahrhundert hatte die Stadt Paris sehr viel mehr Einwohner* als München.
Die Tatsachenbehauptung B ist wahr.

Die gewöhnlichen Aussagen A und B besitzen einen inhaltlichen Zusammenhang, denn beide Aussagen geben Informationen über die Stadt Paris. A und B sind miteinander vereinbar, weil beide Aussagen wahr sind. – Die Aussagen A und B sind voneinander unabhängig. Denn weder folgt aus A die Aussage B, noch folgt aus B die Aussage A. Das bedeutet, dass die Nicht-Implikation (A B) gegeben ist und außerdem die Nicht-Implikation (B A) gegeben ist.